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LIMITI (DEFINIZIONI (GENERALE (\( x_0 \in R^*, l \in R^*; \; \lim_{x \to x…
LIMITI
DEFINIZIONI
\(\lim_{x \to +\infty} f(x)= \pm \infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \; \exists N >0 : x > N \Rightarrow f(x) >_< \pm M \)
\( x_0 \in R, l \in R; \; \lim_{x \to x^+_0} f(x)= l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : x_0 < x < x_0 + \delta \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \)
\( l \in R; \; \lim_{x \to \pm \infty} f(x)= l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists N >0 : x >_< \pm N \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon \)
\( x_0 \in R; \; \lim_{x \to x_0} f(x)= \pm \infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \; \exists \delta >0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) >_< \pm M \)
\( x_0 \in R, l \in R; \; \lim_{x \to x^-_0} f(x)= l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta >0 : x_0 - \delta < x < x_0 \Rightarrow |f(x)-l| < \varepsilon \)
\( x_0 \in R, l \in R; \; \lim_{x \to x_0} f(x)= l \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta >0 : 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon \)
GENERALE
\( x_0 \in R^*, l \in R^*; \; \lim_{x \to x_0} f(x)= l \Leftrightarrow \forall U \exists V : \forall x \in V-{x_0} \Rightarrow f(x) \in U \)
\( l \in R; \; \lim_{x \to + \infty} f(x)= l^\pm \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists N >0 : x >N \Rightarrow l \le f(x) < l + \varepsilon \; ( l- \varepsilon \le f(x) < l )^-\)
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TEOREMI
confronto 2
\(\exists I(x_0),\; x_0 \in R^* : f(x) \ge g(x) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = + \infty, \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty \)
confronto 3
\(\exists I(x_0),\; x_0 \in R^* : f(x) \le g(x) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = - \infty, \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = - \infty \)
confronto 1
\( \begin{cases} h(x) \le f(x) \le g(x) \\ \lim_{x \rightarrow x_0} h(x) = l \\ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = l \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \)
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ASINTOTI
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OBLIQUI
\(y = mx+ q, \; m \ne 0 \)
\( \lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\infty\ \mbox{ e } \; [4.2]\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0\ \mbox{ e } \; [4.3]\lim_{x\to \pm \infty}[f(x)-mx]=q \)
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cosa sono?
RETTE
\( y=mx+q\; \; con \; \; m, q \in R \)
ALGEBRA
2 FINITI
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\(con \;\; l_1,l_2\in R;\;x_0\in R^*; \; \lim_{x \to x_0} g(x) = l_1 \lim_{x \to x_0} g(x) = l_2 \)
INFINITI
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QUOZIENTE
il segno si conserva: finito / infinito = 0; finito / finito = finito; infinito / finito = infinito; finito / 0 = infinito.
SOMMA
un infinito ha sempre la prevalenza su un finito, se infiniti entrambi: \( \pm \infty \pm \infty = \pm \infty \)
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