Correlação e regressão
Correlação
Direta ou positiva
Quando x ⬆, y ⬆
Indireta ou negativa
Quando x ⬆, y ⬇
Linear
Tendência de ser uma reta
Não linear
Não é uma reta
Nula ou variáveis independentes
Covariância
Média do produto dos desvios
Média dos produtos - produto das médias
COV (X,Y) = E[(X - E(X)) (Y - E(Y))]
COV(X,Y) = E[(X - µx) (Y -µy)]
COV(X,Y) = E(XY)) - E(X)E(Y)
Reta de regressão
Reta dos mínimos quadrados
Para cada valor de X, há valor predito e valor observado de Y
Predito = ^Y - valor sobre a reta
Observado = Yi
Erro ou resíduo (Єi)
Diferença entre o valor observado e o predito
Єi = Yi - ^Y
Pode ser negativo, positivo ou 0
1ª propriedade
Yi = ^α + ^βXi + Єi
Média dos erros = 0
E(Єi) = 0
Soma de todos os erros = 0
2ª propriedade
ΣЄi² é um valor mínimo
Soma dos quadrados dos resíduos é mínima
Por isso reta dos mínimos quadrados
Σ(Yi - ^Y) = valor mínimo
ΣЄi = 0
Cálculo do coeficiente angular
^ = COV(X,Y) / σ²x
^β = n ΣXY - ΣXΣY / n ΣX² - (ΣX)²
Cálculo do coeficiente linear
Y = ^α + ^βX
Substitui o Y e o X pelas médias e o ^β pelo valor já calculado
Єi = 0, porque as médias estão sobre a reta
‾Y = ΣY/n e ‾X = ΣX/n
Centróide
Pontos sobre a reta
Calcula média de Z e Y
A reta passa por cima
Macete para cálculo da reta
Calcula as médias de X e Y
Substitui a média de X na equação
Testa as alternativas para o valor de Y
Y da alteranativa deve ser igual à média calculada
Se funcionar para mais de uma alteranativa, usar a forma tradicional
Coeficientes
Determinação
ρ² = COV²(X,Y) / σ²x σ²y
0 ≤ ρ² ≤ 1
Correlação linear de Pearson
ρ = COV(X,Y) / σx σy
-1 ≤ ρ ≤ +1
Correlação positiva
ρ = +1 ponto exatamente sobre a reta
Coeficiente angular positivo e reta crescente
ρ positivo
Correlação negativa
Coeficiente angular negativo e reta decrescente
ρ negativo
COV = 0, ρ e ρ² = 0
Varáveis independentes
Ou não existe correlação linear
Quanto mais perto de 0, mais fraca a correlação
Não usa fator de Bessel nos cálculos dos coeficientes
Soma de variância
σ²x+y = σ²x + 2COV(X,Y) + σ²y
σ²x-y = σ²x - 2COV(X,Y) + σ²y
Para variáveis independentes, COV = 0
σ²x+y = σ²x + σ²y
σ²x-y = σ²x + σ²y
É afetada por multiplicação e divisão, mas não por adição e subtração
COV (aX + b; cY + d) = ac COV(X,Y)
σ² afetada por multiplicação e divisão
σ²ax+by = a²σ²x + 2ab COV(X,Y) + b²σ²y
ρ não é afetado por números, apenas pelo sinal dos números que multiplicam ou dividem X e Y
ρ² não é afetado por números ou sinais