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Geometria piana (Poligoni (Triangolo (Criteri di congruenza dei triangoli,…

- - - - Un parallelogramma è un quadrilatero in cui i lati opposti sono paralleli
        
        Proprietà del parallelogramma
        
        I lati opposti sono paralleli e congruenti
        
        Gli angoli opposti sono uguali, gli angoli consecutivi sono supplementari
        
        Le diagonali si intersecano nel loro punto medio
        
        Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti
        
        Il punto di intersezione tra le due diagonali è il centro di simmetria del parallelogramma
        
        Un parallelogramma è un caso particolare di trapezio in cui i lati sono a due a due paralleli
        
        Formule parallelogramma
        (b base, L lato obliquo, h altezza, d1 e d2 diagonale maggiore e minore rispettivamente, 2p perimetro, A area)
        
        Perimetro del parallelogramma | 2p=2L+2b
        
        Base | b=2p-2L/2
        
        Lato obliquo | L=2p-2b/2
        
        Area del parallelogramma | A=b*h
        
        Base | b=A/h
        
        Altezza | h=A/b
    - - Deltoide concavo
        è un deltoide in cui uno degli angoli interni è un angolo concavo, e dunque contiene i prolungamenti di due dei suoi lati
        Deltoide convesso
        è un deltoide in cui tutti gli angoli interni sono angoli convessi e dunque non contiene i prolungamenti dei soui lati
        
        Proprietà del deltoide - In un deltoide è sempre presente una coppia di angoli opposti congruenti
        
        Le diagonali di un deltoide concavo non hanno punti di intersezione
        
        Le due diagonali di un deltoide convesso si intersecano in un punto interno al deltoide e sono perpendicolari tra loro
        
        La diagonale di un deltoide convesso che unisce i vertici dei due angoli congruenti:
        1) Viene divisa dall'altra diagonale in due segmenti congruenti
        2) Divide l'intero deltoide in due triangoli isosceli
        
        La diagonale di un deltoide convesso che unisce i vertice dei due angoli non congruenti:
        1) è asse di simmetria per il deltoide
        2) divide il deltoide in due triangoli congruenti
        
        Le due diagonali di un deltoide convesso formano quattro triangoli rettangoli, le cui ipotenuse sono i lati del deltoide
        
        Un deltoide convesso è sempre circoscrivibile a una circonferenza, cioè esiste una circonferenza interna al deltoide e tangente a tutti i suoi lati
        
        La somma degli angoli interni di un deltoide è uguale a un angoli giro, ossia a 360° (somma degli angoli interni di un quadrilatero)
        
        Un quadrilatero è un deltoide se e solo se le sue diagonali sono perpendicolari e una delle due viene divisa in segmenti congruenti dla loro punto di intersezione
        -Un rombo è un deltoide con i quattro lati congruenti
        
        Formule del deltoide
        (A area del deltoide, 2 perimetro, L1 lato maggiore, L2 lato minore, d1 diagonale maggiore, d2 diagonale minore)
        
        Perimetro del deltoide | 2p=2L1+2L2
        
        Lato maggiore del perimetro | L1=2p-2L2/2
        
        Lato minore del perimetro | L2=2p-2L1/2
        
        Area del deltoide | A=d1*d2/2
        
        Diagonale maggiore dall'area | d1=2A/d2
        
        Diagonale minore dell'area | d2=2A/d1
    - - Un rettangolo è un quadrilatero con i lati perpendicolari a due a due
        
        Proprietà del quadrato
        
        Un rettangolo ha quattro angoli retti
        
        I lati opposti sono congruenti
        
        I lati opposti sono paralleli; i lati consecutivi sono perpendicolari
        
        Un rettangolo ha le diagonali congruenti
        
        Le diagonali di un rettangolo si incontrano in un punto, detto centro del rettangolo, che le divide entrambe in due segmenti congruenti.
        
        Ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli
        
        Le diagonali di un rettangolo formano quattro triangoli isosceli
        
        Vi sono 2 assi di simmetria del rettangolo; il centro del rettangolo è centro di simmetria per il rettangolo.
        
        Poiché le somme degli angoli opposti sono uguali (condizione di inscrivibilità) dei quadrilateri), un rettangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza. Il centro della circonferenza circoscritta coincide con il centro del rettangolo.
        
        Un rettangolo è un parallelogramma con i lati a due a due perpendicolari.
        
        Formule del quadrato
        (Indichiamo B con la base, h l'altezza, d diagonale, 2p perimetro, A area)
        
        Perimetro del Rettangolo | 2p=2b+2h
        
        Base (con perimetro e altezza) | b=2p-2h/2
        
        Altezza (con perimetro e base) | h=2p-2b/2
        
        Area del rettangolo | A=b*h
        
        Base (con area e altezza) | b=A/h
        
        Altezza (con area e base) | h=A/b
        
        Diagonale con base e altezza (teorema di pitagora) | d=√b^2+h^2
        
        Base (con diagonale e altezza) | b=√d^2-h^2
        
        Altezza (con diagonale e base) | h=√d^2-b^2
    - - Il Rombo è un quadrilatero con quattro lati congruenti
        
        Proprietà del rombo
        
        I lati di un rombo sono tutti congruenti tra loro
        
        I lati opposti sono paralleli
        
        In un rombo gli angoli opposti sono congruenti e gli angoli consecutivi sono supplementari
        
        Un rombo ha le diagonali perpendicolari
        
        Le diagonali si un rombo si incontrano in un punto, detto centro del rombo, che divide entrambe in due segmenti congruenti
        
        Ciascuna diagonale divide in rombo in due triangoli isosceli.
        
        Le diagonali di un rombo formano quattro triangoli rettangoli, congruenti tra loro e ciscuno con i cateti dati dalle semidiagonali del rombo
        
        Le diagonali di un rombo sono bisettrici degli angoli interni
        
        Le diagonali sono assi di simmetria del rombo; il centro del rombo è il centro di simmetria per il rombo.
        
        Poichè le somme delle misure dei lati opposti sono uguali (condizione di circoscrivibilità dei quadrilateri), è sempre possibile iscrivere una circonferenza in un rombo. Il centro della circonferenza inscritta coincide con il centro del rombo
        
        Un rombo è un parallelogramma con i lati opposti congruenti
        
        Formule del rombo
        (L lato del rombo, d1 e d2 diagonale maggiore, diagonale minore rispettivamente, 2p perimetro, A area, r raggio circonferenza inscritta)
        
        Perimetro del rombo | 2p=4L
        
        Lato (con il perimetro) | L=2p/4
        
        Area del rombo (con diagonali) | A=d1*d2/2
        
        Diagonale maggiore | d1=2A/d2
        
        Diagonale minore | d2=2A/d1
        
        Area del rombo (con lato e raggio) | A=L*2r
        
        Lato | L=A/2L
        
        Raggio della circonferenza inscritta | r=A/2L
        
        Lato con le diagonali (teorema di pitagora) | L=√(d1/2)^2+(d2/2)^2
        
        Semi-diagonale maggiore | d1/2=√L^2-(d2/2)^2
        
        Semi-diagonale minore | d2/2=√L^2-(d1/2)^2
    - - Quadrato
        
        Un quadrato è un quadrilatero equilato ed equiangolo avente cioè quattro angoli congruenti e quattro lati congruenti.
        
        Proprietà del quadrato
        
        I lati sono congruenti tra loro
        
        Gli angoli sono congruenti tra loro
        
        Tutti gli angoli interni sono angoli retti
        
        I lati di un quadrato sono perpendicolari a due a due
        
        Un quadrato ha le diagonali perpendicolari tra loro
        
        Le diagonali di un quadrato si incontrano in un punto, detto centro del quadrato, che divide entrambe in due segmenti congruenti
        
        Ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli e isosceli, congruenti tra loro, con angoli alla base di 45°
        
        Le diagonali di un quadrato formano quattro triangoli isosceli con angoli alla base di 45°
        
        Un quadrato possiede 4 assi di simmetria: il centro del quadrato è il centro di simmetria per il quadrato (per approfondire: assi di simmetria del quadrato)
        
        Poichè le somme delle misure dei lati opposti coincidono (condizione di circoscrivibilità dei quadrilateri), è sempre possibile tracciare una circonferenza inscritta al quadrato
        
        Poichè le somme degli angoli opposti sono uguali (condizione di inscrivibilità dei quadrilateri), è sempre possibile disegnare una circonferenza circoscritta al quadrato
        
        Un quadrato è un rettangolo con i quattro lati congruenti
        
        Un quadrato è un rombo con i quattro angoli congruenti
        
        E un poligono regolare
        
        Curiosità: dalla formula per l'area del quadrato A=L^2 deriva l'espressione "elevare al quadrato un numero", che significa calcolare la potenza con esponente 2 del numero
        
        Formule quadrato
        (indichiamo L il lato, d la diagonale, 2p perimetro, A area)
        
        Perimetro quadrato | 2p = 4L
        
        Lato (con il perimetro) | L=2p/4
        
        Area del quadrato (con il lato) | A=L^2
        
        Lato (con l'area) | L=√A
        
        Diagonale del quadrato (con il lato, mediante il teorema di pitagora) | d=L√2
        
        Lato (con diagonale) | L=d/√2
        
        Area del quadrato (con la diagonale) | A=d^2/2
        
        Diagonale (con l'area) | d=√2A
- - - - Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano
        
        Se almeno due punti allineati appartengono ad un piano anche la retta è ell interno dell piano
  - - - Rette che non hanno alcun punto in comune: Rette parallele
        
        Rette che hanno un punto in comune: Rette incidenti
        
        Per una retta passano infiniti piano: Fascio di piani
  - - - Per un punto passano infinite rette: Fascio di rette
        
        Esistono infiniti punti non appartenenti alla stessa retta: Due rette incidenti r e s r ha infiniti punti che non incidono con s e viceversa
- - - - Angolo nullo proprietà
        
        L'ampiezza di un angolo nullo è pari a 0° e quindi 0 radianti
        
        L'angolo nullo è un angolo convesso, infatti non contiene i prolungamenti dei suoi lati
      - Angolo giro
        
        Angolo giro proprietà
        
        Un angolo giro ha un'ampiezza di 360°, che corrispondono a 2π radianti.
        
        L'angolo giro è il quadruplo di un angolo retto, e il doppio di un angolo piatto
        
        L'angolo giro è un angolo concavo, infatti contiente i prolungamenti dei suoi lati.
        
        Nella geometria euclidea, la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre uguale ad un angolo giro indipendentementedal numero dei lati del poligono stesso.
        
        Due angoli la cui somma delle ampiezze è un angolo giro si dicono angoli esplementari
      - Angolo Piatto
        
        Angolo piatto proprietà
        
        La misura dell'ampiezza in gradi di un angolo piatto è di 180°, mentre in radianti è Pi Greco (π).
        
        L'angolo piatto è il doppio di un angolo retto e la metà di un angolo giro.
        
        Un angolo piatto è un angolo né concavo né convesso.
        
        Nella geometria euclidea, la somma degli angoli di un qualsiasi triangolo è pari a un angolo piatto
        
        La somma delle ampiezze di due angoli adiacenti è un angolo piatto
        
        Due angoli la cui somma delle ampiezze è una angolo piatto si dicono angoli suplementari.
    - - Angoli congruenti
      - Angoli opposti al vertice
      - Angoli adiacenti
      - Angoli consecutivi
- - - - Formule del segmento circolare
        (c lunghezza corda, L lunghezza arco, 2p perimetro, A area)
        
        Area del segmento circolare | Da calcolare come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo isoscele dato da corda e raggi
        
        Perimetro del segmento circolare | 2p=L+c
        
        Corda del perimetro | c=2p-L
        
        Arco | L=2p-c
    - - Formule settore circolare
        (r raggio, L lunghezza dell'arco sotteso dal settore circolare, 2p perimetro, A area, β l'angolo al centro)
        
        Perimetro del settore circolare | 2p=2r+L
        
        Lunghezza dell'arco (dal perimetro) | L=2p-2r
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2p-L/2
        
        Area del settore circolare | A=L*r/2
        
        Lunghezza dell'arco (dall'area) | L=2A/r
        
        Raggio ( dall?area) | r=2A/L
        
        Con l'angolo in gradi Proporzione arco-raggio-angolo | L:2πr = β:360°
        
        Lunghezza dell'arco | L=β*2πr/360°
        
        Raggio r=L*360°/2πβ
        
        Angolo al centro | β=L*360/2πr
        
        Area del settore circolare | A=πr^2β/360°
        
        Raggio | r=√A*360°/πβ
        
        Angolo al centro | β=360°A/πr^2
        
        Con l'angolo in radianti proporzione angolo-raggio-arco | 2π:β=2πr:L
        
        Lunghezza dell'arco | L=βr
        
        Raggio | r=L/β
        
        Angolo al centro | β=L/r
        
        Area del settore circolare | A=r^2β/2
        
        Raggio | r=√2A/β
        
        Angolo al centro β=2A/r^2
    - - Proprietà
        1) Una circonferenza ha infinite corde e tra esse, quelli passanti per il centro si dicono diametri
        2)Una corda divide la circonferenza in due parti, dette archi di circonferenza
        3) Una retta passante per il centro di una circonferenza e perpendicolare ad una corda la dimezza
        4) L'asse di una corda passe per il centro di una circonferenza
        5) Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, due corde che hanno la stessa distanza dal centro sono uguali
        6) In una circonferenza due corde diseguali hanno diversa distanza dal centro e, precisamente, quella maggiore ha distanza minore dal centro. Viceversa, due corde aventi dal centro distanza diseguali sono diverse e la maggiore è quella che ha distanza minore dal centro
        7) Teorema delle corde: Se due corde si intersecano in un punto, i segmenti dell'una formano i medi ed i segmenti dell'altra formano gli estremi di una proporzione
    - - Formule corona circolare
        (r raggio circonferenza interna, R raggio circonferenza esterna, 2p perimetro, A area corona)
        
        Perimetro della corona circolare | 2p=2π(r+R)
        
        Raggio minore | r=2p-2πR/2π
        
        Raggio maggiore | R=2p-2πr/2π
        
        Area della corona circolare | A=π(R^2-r^2)
        
        Raggio minore | r=√πR^2-A/π
        
        Raggio maggiore | R=√πr^2+A/π
    - - Formule del cerchio
        (r raggio, d diametro, 2p perimetro, A area)
        
        Diametro del cerchio | d=2r
        
        Raggio (dal diametro) | r=d/2
        
        Perimetro del cerchio (formula della circonferenza) | 2p=2πr
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2p/2π
        
        Perimetro dal diametro | 2p=πd
        
        Diametro (dal perimetro) | d=2p/π
        
        Area del cerchio | A=πr^2
        
        Raggio (dall'area) | r=√A/π
        
        Area del cerchio (con il diametro) | A=π(d/2)^2
        
        Diametro (dall'area) | d=√4A/π
    - - Proprietà
        1) Poiche, come abbiamo visto, ogni diametro è una particolare corda, esso gode di tutte le proprietà viste per la corda di una circonferenza
        2) Il centro di una circonferenza è il punto medio del diametro, ossia ogni diametro viene diviso dal centro della circonferenza in due segmenti uguali che prendono il nome di raggi della circonferenza
        3) Ogni diametro è un asse di simmetria per la circonferenza e la divide in due parti uguali, che si diranno semicirconferenze
        4) Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, e la sua ipotenusa è il diametro della semicirconferenza (attenzione: una semicirconferenza ha ovviamente un solo diametro)
        5) In ogni circonferenza ciascun diametro è maggiore di qualsiasi altra corda; proprio per questo motivo si sente parlare di diametro come corda massima della circonferenza
        6) Preso un qulasiasi poligono regolare e considerata la circonferenza inscritta, il diametro è il doppio dell'apotema
    - - Formule segmento circolare a due basi
        (c1 lunghezza corda minore, c2 lunghezza corda maggiore, 2p perimetro, A area)
        
        il perimetro del segmento circolare a due basi si può calcolare come la somma delle lunghezza delle due corde e della differenza tra le lunghezza dei due archi
        
        L'area del segmento circolare a due basi si può calcolare come la differenza tra l'area dei due settori circolari con basi le rispettive corde
        
        In generale bisogna sempre tenere a mente le formule del cerchio, perche potrebbero rivelarsi molto utili nella risoluzione dei problemi
    - - Formula quadrante circolare
        (r raggio circonferenza, d diametro)
        
        Area del quadrante circolare | Aq=πr^2/4
        
        Raggio (dall'area) | r=√4Aq/π
        
        Perimetro del quadrante | 2pq=πr/2+2r
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2pq/π/2+2
    - - Formule semicirconferenza
        (r raggio, d diametro)
        
        Area della semicirconferenza | As=πr^2/2
        
        Raggio (dall'area) | r=√2As/π
        
        Perimetro della semicirconferenza | 2ps=πr+d
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2ps-d/π
- - - - SEGMENTI PARTICOLARI
        Corda
        Segmento che unisce due punti di una circonferenza
        Diametro
        Segmento che unisce due punti di una circonferenza e passa per il centro
        Lato
        Segmento che unisce due vertici consecutivi di un poligono
        Diagonale
        Segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono