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Relaciones entre Conjuntos (Propiedades (Relación transitiva (Una relación…
Relaciones entre Conjuntos
Propiedades
Relación transitiva
Una relación R definida en A es “transitiva” siempre que un elemento esté relacionado con un segundo y este con un tercero, entonces el primero esté relacionado con el tercero. Es decir, siempre que x, y, z sean elementos de A, se cumple que si (x,y) E R y (y,z) E R, entonces (x,z) E R.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5),(4,5),(4,6),(5,5),(7,7),(6,6)}, entonces R es “transitiva”.
Relación de equivalencia
Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si, y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(2,7),(7,2),(4,5),(5,4), (5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(4,6),(4,7),(6,4),( 7,4),(5,7),(7,5)}.
Relación antisimétrica
Una relación R definida en A es “asimétrica” cuando ninguna pareja de la relación tiene su recíproco; Es decir, para elementos x,y de A se cumple que si (x,y) ∈R entonces (y,x) ∉R; pero,si (x,y) ∈R, entonces x=y.
si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,2),(4,5),(7,7)}, entonces R es “antisimétrica”, porque ninguna de sus parejas tiene su recíproco.
Relación de orden parcial
Una relación R definida en un conjunto A es de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero no hay relación entre algunos elementos de A.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(5,6),(6,7),(4,6)}.
Relación simétrica
Una relación R definida en A es “simétrica” cuando todas las parejas de la relación tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple que si xRy, entonces yRx.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,5),(4,6)},
entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco
Relación inversa
Sea A un conjunto cualquiera y R una relación definida en A por {(x,y)AxA/xRy}; entonces, la relación inversa denotada por R-1 se define como el conjunto {(x,y)AxA/yRx}.
Si A={6,12,18,24} y R una relación definida en A por
Relación reflexiva
Una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente,
Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}, entonces es “reflexiva”, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.
CerraduraTransitiva
Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R′ que cumple: ■R ′es transitiva, ■R⊆R′(R′ contiene a R),y ■Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R′. Es decir, la cerradura transitiva de una relación es la más pequeña relación transitiva que contiene aR.
Relaciones
Las relaciones son conjuntos, por lo tanto se puede usar la representación de conjuntos para representar relaciones.
Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas.
Las relaciones binarias con conjuntos de pares.
Sean A y B dos conjuntos. Una relación de A en B es cualquier conjuntos de pares
(x,y), x ∈ A e y ∈ B. Si (x,y) ∈ R,
diremos que x es R -relacionado con y .
Representación de Relaciones
Tabular
Matricial
Gráfica
Conjunto
Cualquier colección de objetos o individuos. Se denota con mayúsculas.
