Relaciones entre Conjuntos
Propiedades
Relación transitiva
Relación de equivalencia
Relación antisimétrica
Relación de orden parcial
Relación simétrica
Relación inversa
Relación reflexiva
Una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A forman parejas ordenadas en R con componentes iguales. Simbólicamente,
Si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)}, entonces es “reflexiva”, porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo.
Una relación R definida en A es “simétrica” cuando todas las parejas de la relación tienen su recíproco; es decir, para elementos x, y de A se cumple que si xRy, entonces yRx.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,5),(4,6)},
entonces R es simétrica, porque todas las parejas de R tienen su recíproco
Una relación R definida en A es “asimétrica” cuando ninguna pareja de la relación tiene su recíproco; Es decir, para elementos x,y de A se cumple que si (x,y) ∈R entonces (y,x) ∉R; pero,si (x,y) ∈R, entonces x=y.
si A={2,4,5,6,7} y R:A → A es una relación definida por R={(2,2),(6,4),(5,6),(6,2),(4,5),(7,7)}, entonces R es “antisimétrica”, porque ninguna de sus parejas tiene su recíproco.
Una relación R definida en A es “transitiva” siempre que un elemento esté relacionado con un segundo y este con un tercero, entonces el primero esté relacionado con el tercero. Es decir, siempre que x, y, z sean elementos de A, se cumple que si (x,y) E R y (y,z) E R, entonces (x,z) E R.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5),(4,5),(4,6),(5,5),(7,7),(6,6)}, entonces R es “transitiva”.
Una relación R definida en un conjunto A es de equivalencia si, y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(2,7),(7,2),(4,5),(5,4), (5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(4,6),(4,7),(6,4),( 7,4),(5,7),(7,5)}.
Una relación R definida en un conjunto A es de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva, pero no hay relación entre algunos elementos de A.
si A={2,4,5,6,7} y R:A→A es una relación definida por
R={(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(5,6),(6,7),(4,6)}.
Relaciones
Las relaciones son conjuntos, por lo tanto se puede usar la representación de conjuntos para representar relaciones.
Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas.
Las relaciones binarias con conjuntos de pares.
Sean A y B dos conjuntos. Una relación de A en B es cualquier conjuntos de pares
(x,y), x ∈ A e y ∈ B. Si (x,y) ∈ R,
diremos que x es R -relacionado con y .
Representación de Relaciones
Tabular
Matricial
Gráfica
Sea A un conjunto cualquiera y R una relación definida en A por {(x,y)AxA/xRy}; entonces, la relación inversa denotada por R-1 se define como el conjunto {(x,y)AxA/yRx}.
Si A={6,12,18,24} y R una relación definida en A por
CerraduraTransitiva
Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R′ que cumple: ■R ′es transitiva, ■R⊆R′(R′ contiene a R),y ■Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R′. Es decir, la cerradura transitiva de una relación es la más pequeña relación transitiva que contiene aR.
Conjunto
Cualquier colección de objetos o individuos. Se denota con mayúsculas.