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Sequencias e Séries Convergentes (Critérios de Convergência (Critério da…
Sequencias e Séries Convergentes
Introdução ao estudo de Séries e Sequências
Cálculo III
Criadores do Cálculo
Século XVII
Leibniz
Newton
Século XVIII
Euler (Séries)
Limite de uma sequência
Podemos provar que:
Progressões geométricas
Algumas igualdades básicas, para -1 < x < 1
Se a igualdade é verdadeira, podemos integrar dos dois lados?
Somando a primeira e segunda temos:
Se esta fórmula for válida temos uma fórmula para calcular logaritmo de base
e
Entendendo melhor a igualdade anterior
Soma dos infinitos termos
Soma dos N primeiros termos
Sequências numéricas Convergentes
Propriedades operatórias
Limite da soma
Limite do produto
Quociente
Produto por constante
Etc...
Crescentes e limitadas
0,9; 0,99; 0,999; 0,99999 ... 𝟏
2; 2,25; 2,3703; 2,4414; ... 𝗲
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... 𝞹
Propriedades importantes
SÉRIES CONVERGENTES
Uma série
CONVERGENTE
é uma soma de infinitos termos que tem um valor
FINITO
.
Dada uma sequência numérica
, consideramos uma
NOVA SEQUÊNCIA
,
, formada pelas somas parciais (finitas) da primeira sequência:
Dizemos que a série
é
CONVERGENTE
, e se
converge a L, se e somente se
SÉRIES CONVERGENTES
Série Telescópica
Séries Geométricas (P.G.)
Como a convergência de séries é definida a partir de limites de sequências, valem as propriedades básicas de limites
Não existem propriedades similares para produto e quociente!
Sequências numéricas
Sequências numéricas (reais) podem ter 3 comportamentos em termos de limite
CONVERGENTE
Tender para um número real bem definido
Quando uma sequência tem um limite que é um número real (finito) L dizemos que a sequência é
CONVERGENTE
.
DIVERGENTE
Oscila
Crescer para ± ∞
Definição formal
Uma sequência numérica é uma função com domínio
N
e contradomínio
R
.
Exemplo
Progressões geométricas
Sequências em que passamos de um termo para o seguinte multiplicando por uma constante (razão)
Progressões aritméticas
Sequências em que passamos de um termo para o seguinte somando uma constante (razão)
Sequência de
Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Critérios de Convergência
Critério da
Comparação
Se
são duas sequências de termos positivos verificando
Dificuldade em utilizar: manipular inequações e achar uma segunda série para fazer a comparação.
Critério do
termo geral
Condição
NECESSÁRIA
porém
NÃO SUFICIENTE
.
A série Harmônica
é
DIVERGENTE
.
Consequência importante
Critério da
Comparação no limite
Sejam duas sequências numéricas satisfazendo
. Então ...
2)
3)
1)
Critério da
Razão
Seja
uma sequência numérica com
,
e
, então ...
2)
3)
1)
Critério da
Raiz
2)
3)
1)
Critério da
Integral
Para poder aplicar esta técnica é preciso que a função satisfaça alguns critérios
e seja
dada por
Série Harmônica generalizada
p
pode ser um número real qualquer fixado
Como
temos
Séries Alternadas
RESUMINDO
CONVERGENTE
ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
CONDICIONALMENTE CONVERGENTE
DIVERGENTE
Convergência Condicional
Exemplos ...
Condicionalmente convergentes
Podemos ter ...
Convergência Absoluta
Exemplos ...
Absolutamente convergentes
Neste caso
chama-se
ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
Critério de Leibniz
Exemplos
É preciso verificar que as hipóteses estão satisfeitas!
Então ...
Seja
uma sequência que satisfaz
Lembrando que ...
Derivada de f(x) < 0
f(x) é
DECRESCENTE
Derivada de f(x) > 0
f(x) é
CRESCENTE
