LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

definizione generale di limite

casi particolari: limiti notevoli

limiti e asintoti

l∈R∗ è limite della funzione f(x) per x che tende a x_0 \in \mathbb{R}^*
. se comunque preso un intorno di l I(l) esiste un intorno di x_0 I(x_0) tale che per ogni x \in I(x_0), risulta f(x) \in I(l)

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\); \(x, l \in \mathbb{R}^*\)
. se \(\forall I(l)\) \(\exists\) \(I(x_0)\) \(|\) \(\forall x \in I(x_0), x \neq x_0 : f(x) \in I(l)\)

in corrispondenza di...

  • \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty\)
  • \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty\)
  • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = k\)
  • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = k\)

asintoto-verticale

asintoto verticale in \(x = x_0\)

ve ne possono essere in numero infinito (es. funzione \(\tan(x)\) )

asintoto orizzontale in \(y = k\)

ve ne sono al massimo due,
per \(x \to -\infty\) e \(x \to +\infty\)

asintoto-orizzontale-destro

  • assenza di asintoti orizzontali
  • \(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m\)
    e \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - mx] = q\)
  • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m\)
    e \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = q\)

se \(m \neq 0, \pm \infty\) e \(q \neq \pm \infty\),
asintoto obliquo in \(y = mx + q\)

ve ne sono al massimo due,
per \(x \to -\infty\) e \(x \to +\infty\)

asintoto-obliquo

  • limite notevole della funzione esponenziale
    \(lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
  • limite notevole della funzione esponenziale con base arbitraria
    \(lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a), a > 0\)
  • limite notevole della funzione logaritmica con base arbitraria
    \(lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = \frac{1}{ln(a)}, a > 0 \neq 1\)
  • limite notevole della potenza con differenza
    \(lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^c -1}{x} = c, c \in \mathbb{R}\)
  • limite notevole del logaritmo naturale
    \(lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1\)
  • limite notevole della funzione seno
    \(lim_{x \to 0} \frac{\sin {x}}{x} = 1\)
  • limite notevole del numero di Nepero
    \(lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\)
  • limite notevole della funzione coseno
    \(lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {x}}{x^2} = \frac{1}{2}\)
  • limite notevole della funzione tangente
    \(lim_{x \to 0} \frac{\tan {x}}{x} = 1\)
  • limite notevole dell'arcoseno
    \(lim_{x \to 0} \frac{\arcsin {x}}{x} =1\)
  • limite notevole dell'arcotangente
    \(lim_{x \to 0} \frac{\arctan {x}}{x} = 1\)
  • limite notevole del seno iperbolico
    \(lim_{x \to 0} \frac{\sinh {x}}{x} = 1\)
  • limite notevole del coseno iperbolico
    \(lim_{x \to 0} \frac{\cosh {x} - 1}{x^2} = \frac{1}{2}\)
  • limite notevole della tangente iperbolica
    \(lim_{x \to 0} \frac{\tanh {x}}{x} = 1\)