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LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE (casi particolari: limiti…
LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE
definizione generale di
limite
\(l \in \mathbb{R}^*\) è limite della funzione \(f(x)\) per \(x\) che tende a \(x_0 \in \mathbb{R}^* \)
. se comunque preso un intorno di \(l\) \(I(l)\) esiste un intorno di \(x_0\) \(I(x_0)\) tale che per ogni \(x \in I(x_0)\), risulta \(f(x) \in I(l)\)
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\); \(x, l \in \mathbb{R}^*\)
. se \(\forall I(l)\) \(\exists\) \(I(x_0)\) \(|\) \(\forall x \in I(x_0), x \neq x_0 : f(x) \in I(l)\)
casi particolari:
limiti notevoli
limite notevole della
funzione esponenziale
\(lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
limite notevole della
funzione esponenziale con base arbitraria
\(lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a), a > 0\)
limite notevole della
funzione logaritmica con base arbitraria
\(lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = \frac{1}{ln(a)}, a > 0 \neq 1\)
limite notevole della
potenza con differenza
\(lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^c -1}{x} = c, c \in \mathbb{R}\)
limite notevole del
logaritmo naturale
\(lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1\)
limite notevole della
funzione seno
\(lim_{x \to 0} \frac{\sin {x}}{x} = 1\)
limite notevole del
numero di Nepero
\(lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\)
limite notevole della
funzione coseno
\(lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos {x}}{x^2} = \frac{1}{2}\)
limite notevole della
funzione tangente
\(lim_{x \to 0} \frac{\tan {x}}{x} = 1\)
limite notevole dell'
arcoseno
\(lim_{x \to 0} \frac{\arcsin {x}}{x} =1\)
limite notevole dell'
arcotangente
\(lim_{x \to 0} \frac{\arctan {x}}{x} = 1\)
limite notevole del
seno iperbolico
\(lim_{x \to 0} \frac{\sinh {x}}{x} = 1\)
limite notevole del
coseno iperbolico
\(lim_{x \to 0} \frac{\cosh {x} - 1}{x^2} = \frac{1}{2}\)
limite notevole della
tangente iperbolica
\(lim_{x \to 0} \frac{\tanh {x}}{x} = 1\)
limiti e
asintoti
in corrispondenza di...
\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty\)
\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty\)
asintoto verticale
in \(x = x_0\)
ve ne possono essere in numero infinito (es. funzione \(\tan(x)\) )
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = k\)
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = k\)
asintoto orizzontale
in \(y = k\)
ve ne sono al massimo due,
per \(x \to -\infty\) e \(x \to +\infty\)
assenza di asintoti orizzontali
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m\)
e \(\lim_{x \to -\infty} [f(x) - mx] = q\)
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m\)
e \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = q\)
se \(m \neq 0, \pm \infty\) e \(q \neq \pm \infty\),
asintoto obliquo
in \(y = mx + q\)
ve ne sono al massimo due,
per \(x \to -\infty\) e \(x \to +\infty\)
