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Limiti notevoli e asintoti (Ci sono diversi tipi di asintoti in base alla…
Limiti notevoli e asintoti
Limiti notevoli di funzioni goniometriche
a. \( \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1 \)
b. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - cosx}{x^2} = 1 \)
Ci sono diversi tipi di asintoti in base alla retta
Asintoto verticale
Sia \( y = f(x)\) e sia \(x_0 ∈ R\) un punto di accumulazione per il dominio della funzione.
Allora \(r : x = x_0\) è l'equazione di un asintoto verticale della funzione \(f(x)\) se
\( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = ±∞\) e \( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = ±∞\)
Asintoto obliquo
Sia \( y = f(x)\) una funzione e supponiamo che esista \(M > 0\) tale che \(f(x)\) si definita per \(x > M\)
Diciamo che \(r : y = mx + q \) con \(m, q ∈ R, m \ne 0\) è l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione se
\( \lim_{x \to ±∞} f(x) = ±∞\) e \( \lim_{x \to ±∞} \frac{f(x)}{x} = m \ne 0\) e \( \lim_{x \to ±∞} (f(x) - mx) = q\)
Asintoto orizzontale
Sia \( y = f(x)\) una funzione e supponiamo che esista \(M > 0\) tale che \(f(x)\) si definita per \(x > M\)
Diciamo che \(r : y = k \) con \(k ∈ R\) è l'equazione dell'asintoto orizzontale destro della funzione se
\( \lim_{x \to +∞} f(x) = k\)
Analogamente supponiamo che esista \(M > 0\) tale che \(f(x)\) si definita per \(x < -M\)
Diciamo che \(r : y = k \) con \(k ∈ R\) è l'equazione dell'asintoto orizzontale sinistro della funzione se
\( \lim_{x \to -∞} f(x) = k\)
Limite notevole per il numero e
\( \lim_{x \to ±∞} (1 + \frac{1}{x})^x = e \)
Da questo limite derivano molti altri
limiti notevoli di tipo esponenziale e logaritmico
:
c. \( \lim_{x \to 0} \frac{log_a(1 + x) }{x} = \frac{1}{ln(a)} \)
d. \( \lim_{x \to0} \frac{a^x - 1}{x} = ln(a) \)
b. \( \lim_{x \to 0} (1 + kx)^\frac{1}{x} = e^k \)
e. \( \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \)
a. \( \lim_{x \to ±∞} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k \)
\( \lim_{x \to x_0} f(x) = l \)
b. esiste un intorno
V
di
\( \ x_0 \)
c. | che per ogni
\(x ∈ V\)
, con \(x \ne x_0\) risulta \(f(x) \space ∈ \space U\)
a. per ogni intorno
U
di
l