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Risoluzione di limiti (Forme di indecisione (\( + \infty - \infty \)…

- - - - \( \lim_{x \to\pm\infty} a_nx^{n} +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = \lim_{x \to\pm\infty} a_nx^{n} \)
    - - Semplifica! Ad esempio, se hai un termine del tipo \(x \pm \sqrt{...}\), moltiplica e dividi per \(x \mp \sqrt{...}\) per semplificare la radice
  - - - Si razionalizza il numeratore o il denominatore
    - - \( \lim_{x \to 0} \frac{a_nx^{n} +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0}{b_kx^{k} +a_{k-1}x^{k-1} + ... + b_0} = \lim_{x \to 0} \frac{a_1x}{b_1x} \)
        (Lascia solo i termini di grado minimo)
  - - - Punto di accumulazione infinito
        
        \( \lim_{x \to\pm\infty} \frac{a_nx^{n} +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0}{b_kx^{k} +a_{k-1}x^{k-1} + ... + b_0} = \lim_{x \to\pm\infty} \frac{a_nx^{n}}{b_kx^k} \)
        (Lascia solo i termini di grado massimo)
      - Punto di accumulazione finito
        
        Raccogli, semplifica, manipola le espressioni di numeratore e denominatore per eliminare l'indecisione
  - - - Infiniti
        
        Una funzione si dice infinita per un punto \(x_0 \) se
        
        \( lim_{x\to x_0} f(x) = \infty \)
        
        Date due funzioni infinite, \( f(x)\space e\space g(x) \), messe a rapporto:
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \infty, \Rightarrow ordine(f(x)) > ordine(g(x))\)
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0, \Rightarrow ordine(f(x)) = ordine(g(x))\)
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0, \Rightarrow ordine(f(x)) < ordine(g(x))\)
        
        "o piccolo"
        
        Una funzione \(f(x)\) è "o piccolo" per una funzione \(g(x)\) se e solo se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\) e si scrive \(f(x) = o(g(x))\)
        
        La funzione infinita esponenziale ha ordine maggiore di QUALSIASI funzione potenza
        
        \(\lim_{x\to x_0} \frac{a^x}{x^b} = \infty, \forall a > 0, b > 0 \)
      - Infinitesimi
        
        Una funzione si dice infinitesima per un punto \(x_0 \) se
        
        \( lim_{x\to x_0} f(x) = 0 \)
        
        Date due funzioni infinitesime, \( f(x)\space e\space g(x) \), messe a rapporto:
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0, \Rightarrow ordine(f(x)) > ordine(g(x))\)
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0, \Rightarrow ordine(f(x)) = ordine(g(x))\)
        
        \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \infty, \Rightarrow ordine(f(x)) < ordine(g(x))\)
        
        La funzione infinita logaritmo ha ordine inferiore di QUALSIASI funzione potenza
        
        \(\lim_{x\to x_0} \frac{log_a(b)}{x^c} = 0, \forall a > 1, b > 0, c > 0 \)
      - Ordine gerarchico degli ordini (gioco di parole ahahahah)
        
        Funzione esponenziale \(f(x) = a^x, \forall\space a > 1\)
        
        Funzione potenza \(f(x) = x^n, \forall\space n > 2 \)
        
        \(f(x) = 1 - cosx \)
        
        \( f(x) = x^2 \)
        
        Funzione potenza \(f(x) = x^n, \forall\space 1 < n < 2 \)
        
        \(f(x) = sinx \)
        
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        \(f(x) = x \)
        
        1 more item...
- - - - \( \lim_{x\to x_0} [f(x)^\alpha] = l_1 ^\alpha \)
- - - - \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l = lim_{x\to x_0} g(x) = l, l \in R, x_0 \in R^*\)
      - \( f(x) \le h(x) \le g(x), \forall x \in I(x_0) \)
    - - \( \lim_{x\to x_0} h(x) = l \)
  - - - \( f(x) \ge g(x) \space \space \forall x \in I(x_0) \)
    - - \( \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty, \implies \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty \)
    - - Ipotesi:
        
        \( \lim_{x\to x_0} g(x) = l \) e \( \lim_{t\to l} f(t) = L \), con \( x_0, l, L \in R^* \)
        
        \( \exists \space U = I(x_0) : \forall x \in U, (x \neq x_0), g(x) \neq l \)
      - Tesi:
        
        \( \lim_{x\to x_0} f(g(x)) = \lim_{t\to l} f(t) = L \)
      - Teorema della funzione continua per un infinitesimo (lo so...)
        
        Ipotesi
        
        \(f(x)\) è una funzione limitata in \(U(x_0)\)
        
        \(g(x): lim_{x\to x_0} g(x) = 0\)
        
        Tesi:
        
        \(lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x) = 0\)
- - - - \(y = c \)
      - Si ha se e solo se:
        
        \( \lim_{x \to \infty} f(x) = c \)
    - - \(x = a \)
      - Si ha se vale almeno una tra:
        
        \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty \)
        
        \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty \)
    - - \(y = mx + q, m \neq 0 \)
      - Si ha se:
        
        \( \lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx + q)] = 0 \)
        
        \( m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \)
        
        \( q = \lim_{x\to \infty} f(x) - mx \)
      - Può esserci se e solo se:
        
        Non esistono limiti orizzontali per quella funzione
        
        La funzione ha dominio illimitato
        
        La funzione non è periodica
- - - - Un punto di accumulazione di una funzione \(f\) è un punto dell'asse reale (compresi \(\pm \infty\)) tale che in ogni suo intorno esiste almeno un punto appartenente al dominio della funzione.
        Detto papale papale (e in termini matematicamente scorretti, da non usare all'esame): è un punto vicino (o interno) al dominio della funzione