Рассмотрим треугольник ABC, у которого AB<BC. Поскольку АВ<ВС, то на стороне AB найдется такая точка М, что ВМ=ВС. Получили равнобедренный треугольник МВС, в котором ∠ВМС=∠ВСМ. Так как угол ВМС - внешний угол треугольника АМС, то ∠ВМС>∠А. Следующая "цепочка" доказывают первую часть теоремы : ∠АСВ>∠МСВ=∠ВМС>∠А 2. Расссмотрим треугольник АВС, у которого ∠С>∠А. Поскольку ∠ACB>∠A, то угол АСВ, можно разделить на два угла АСМ и МСВ так, что ∠АСМ=∠А. Тогда треугольник АМС-равнобедренный с равными сторонами МА и МС. Для стороны ВС запишем неравенство треугольника : МВ+МС>ВС. Учитывая, что МА=МС и МВ+МА=АВ, получим AB>BC.
