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CONJUNTOS NUMÉRICOS (operaciones y sus aplicaciones (1. OPERACIONES EN…
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Concepto
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.
Conjunto de los Números Naturales
El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar.
Tiene un número infinito de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
Conjunto de los Números Cardinales
Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Conjunto de los números fraccionarios
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero.
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}
Conjunto de los Números Enteros
El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción.
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Conjunto de los Números Racionales
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
Conjunto de Números Reales
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto.
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}
Conjunto de Números Irracionales
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los otros conjuntos.
I = {0,10200300004000005....}
Conjunto de Números Imaginarios
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas.
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.
Propiedad conmutativa
El resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
Propiedad Asociativa
El resultado de una operación, en la que interviene tres o más números, es independiente del agrupamiento de los números.
Propiedad Distributiva
Es aquella por la que dos o mas números de una suma o resta multiplicado por otro numero es igual a la suma o resta
Propiedad de la identidad de la suma
La propiedad que establece que la suma de cero y cualquier otro número es ese número dado
operaciones y sus aplicaciones
1. OPERACIONES EN CONJUNTOS NUMÉRICOS Y NÚMEROS REALES
2. Operaciones en conjuntos numéricos Suma de números naturales. Los elementos con los cuales efectuamos la suma se llaman sumandos y el resultado se llama total o suma. Propiedad de clausura Esto significa que si tomamos dos números naturales y los sumamos, es también un numero natural
4. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad conmutativa de la suma Esta propiedad indica que al efectuar la suma el orden de los sumandos no afecta el total.
5. Operaciones en conjuntos numéricos Ejemplo: 2 + 4 = 4 +2 = 6 10+5 = 5+10 = 15
6. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad Asociativa de la suma Esto es la forma en que se agrupan los sumandos no altera el total. Ejemplos: 2+(5+6) = (2+5)+6=13 6+(3+2) = (6+3)+2=11
7. Operaciones en conjuntos numéricos Multiplicación en los números naturales Los elementos con los cuales efectuamos la multiplicación se llaman factores. El resultado de esta operación se llama producto. El producto de a y b se puede escribir de distintas formas axb = (a)(b) = a.b = ab
8. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad de Clausura El conjunto de los números naturales esta cerrado bajo la operación multiplicación, esto significa que si multiplicamos dos números naturales, el resultado también es un natural. Ejemplos
9. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad conmutativa Esto indica que si multiplicamos dos números naturales el orden de los factores no altera el producto. Ejemplos 2(5)=5(2)=10 3(8)=8(3)=24
10. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad asociativa La forma en que se agrupen los factores no altera el producto Ejemplos (3x2)5= 3(2x5)=30 (4x3)10= 4(3x10)=120
11. Operaciones en conjuntos numéricos Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma La ley distributiva relaciona las operaciones de la multiplicación y la suma Ejemplos: 3(4+2) = 3(4) + 3(2) = 18 9(10+7)= 9(10) + 9(7) = 153
12. Operaciones en conjuntos numéricos Jerarquía de operadores Realice la siguiente operación aritmética 2+3x4+8x2
13. Operaciones en conjuntos numéricos Jerarquía de operadores Realice la siguiente operación aritmética 2+3x4+8x2 =30 Cuando aparecen multiplicaciones y suma, las multiplicaciones se efectúan primero a menos que haya un símbolo de agrupación que requiera otra cosa.
14. Operaciones en conjuntos numéricos Resta en los naturales. A diferencia de la suma, la resta es una operación que no esta totalmente definida en el conjunto de los números naturales. Definición: Dados dos Números Naturales a,b se llama diferencia de a con b y lo denotamos (a-b) a un numero Natural c, tal que a=b+c
15. Operaciones en conjuntos numéricos ¿Pero que pasa si queremos restar? 8-10=? o queremos multiplicar 8(-3)=? Estas operaciones ya no están definidas en el conjunto de los números Naturales, pues -10 y -3 son números que pertenecen a otro conjunto, el conjunto de los números Enteros.