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Conjuntos numéricos :pencil2:
Los números reales, son un gran conjunto de números, los cuales están conformados por: :
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Números enteros
Z
Son el conjunto de números conformados por los números enteros positivos y negativos.
Z
={...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
En
Z
se define las siguientes operaciones:
Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c
Anti simétrica: a ≤ b y b ≤ a -> a=b
Existencia de opuestos: Existe -a tal que a +(-a) + a=0
Asociativa: (a+b) + c = a+(b+c) = a+b+c // (a.b).c = a.(b.c) =a.b.c
Conmutativas: a+b = b+a
Elementos neutros a+0 = 0+a = a // a.1 = 1.a= a
Operaciones internas a + b ε Z y a.b ε Z
Cancelativa: a.b = a.c y a ╪ 0 → b
Reflexiva: a ≤ a
Transitiva: a < b y b < c → a < c
Importante ley de los signos:
(+)(+) = +
(-)(-) = +
(+)(-) = -
(-)(+) = -
Números racionales
Q
Son el conjunto de números que se pueden representar como el cociente entre dos enteros.
Q
= { P/Q, P ε Z , Q ε Z, Q ╪ 0 }.
En
Q
se define las siguientes operaciones
Suma y resta de números racionales:
Para sumar o restar dos o más fracciones es condición necesaria que tengan el mismo denominador. Si tuvieran distintos denominadores lo primero que hay que hacer es obtener fracciones equivalentes con igual denominador.
Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador:
2/3 + 5/3 + 7/3 = (2 + 5 + 7)/3 = 14/3
4/5 + 2/3
Aplicamos el procedimiento del mínimo común múltiplo: 5 x 3 = 15
Sustituimos las fracciones originales por fracciones equivalentes:
12/15 + 10/15
Ya podemos sumar:
12/15 + 10/15 = 22/15
División de números racionales:
Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
5/3 : 7/4 = (5 x 4)/(3 x 7) = 20/21
Multiplicación de números racionales:
Se multiplican sus numeradores y sus denominadores.
4/6 x 7/3 = (4 x 7)/(6 x 3) = 28/18
Potencia de un número racional:
Se elevan tanto el numerador como el denominador a dicha potencia.
(2/5)3 =23/53 = 8/125
Números naturales
N
Son aquellos que designamos para determinar la cantidad de elementos que tiene cierto conjunto:
N
= {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}.
En
N
se definen las dos siguientes operaciones:
Adición
Asociativa: El orden de las sumas parciales en una operación con más de dos sumandos no afecta el resultado de la operación.
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
Cerrada: La suma de dos números naturales siempre es otro número natural.
Multiplicación
Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado de la multiplicación.
Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
Distributiva: La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
Cerrada: El producto dos números naturales, da como resultado otro número natural.
Números irracionales
Q*
Son aquellos que no se pueden expresar como un racional, es decir de la forma p/q.
En conclusión, se tiene que las propiedades de los números reales son las siguientes para el producto y la suma
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Asociativa
Existencia de inverso
Ley de cierre
Distributiva del producto con respecto a la suma