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随机变量相关概念, 一维随机变量 (离散型随机变量\(X\) (分布 (分布类型 (二项分布, 两点分布, 泊松分布, 超几何分布, 几何分布),…

- - - - 概率\(P(X\le x)=F(x)\)
      - 分布函数\(F(x)=\Sigma_{x_k\le x} p_k\)
      - 分布律\(P(X=x_k)=p_k\)
    - - 二项分布
      - 两点分布
      - 泊松分布
      - 超几何分布
      - 几何分布
- - - - 分布函数\(F(x)=\int^x_{-\infty} f(t)dt\)
      - 概率密度\(f(x)\)
      - 概率\(P(X\le x)=P(X< x)=F(x)\)
    - - 均匀分布
      - 指数分布
      - 正态分布
- - - - 联合分布律\(P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\)
      - 联合分布函数\(F(x,y)=\Sigma_{x_i\le x}\Sigma_{y_j\le y}p_{ij}\)
      - 概率\(P(X\le x,Y\le y)=F(x,y)\)
    - - 边缘分布率\(P(X=x_i)=\Sigma^{+\infty}_{j=1}p_{ij},\, P(y=x_j)=\Sigma^{+\infty}_{i=1}p_{ij}\)
  - - - 随机变量函数\(Z=X+Y\)的分布
        
        二项分布
        若\(X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p),X+Y\sim B(n+m,p)\)
        
        泊松分布
        若\(X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2),X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)
      - \(X,Y\)最大值和最小值的分布
- - - - 联合分布函数\(F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v) dudv\)
      - 联合密度函数\(f(x,y)\)
      - 概率\(P((X,Y)\in D)=\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
    - - 边缘密度函数\(f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y) dy,\, f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y) dx\)
      - 边缘分布函数\(F_X(x)=\int^x_{-\infty} f_X(u)du,F_Y(y)=\int^y_{-\infty} f_Y(v)dv\)
  - - - 随机变量函数\(Z=X+Y\)的分布
        \((X,Y)\)的联合密度函数为\(f(x,y)\)
        
        若\(X,Y\)独立，有：
        \(f_Z(z)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int^{+\infty}_{-\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dx\)
        
        若\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，且\(X,Y\)相互独立
        则\(Z=X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)
        进一步，若\(X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)\)，且\(X_i\)相互独立
        则\(\Sigma_{i=1}^n(a_iX_i+b_i)\sim N(\Sigma_{i=1}^n(a_i\mu_i+b_i),\Sigma_{i=1}^na_i^2\sigma_i^2)\)
        
        由\(f(x,y)\)求\(f_Z(z)\)
        \(f_Z(z)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,z-x)dx=\int^{+\infty}_{-\infty}f(z-y,y)dy\)
      - \(X,Y\)最大值和最小值的分布