geometria del piano
oggetti geometrici e proprietà
i postulati di appartenenza e d'ordine
gli enti fondamentali
le operazioni con i segmenti e con gli angoli
lunghezze, ampiezze, misure
una figura geometrica è un insieme di punti; lo spazio è l'insieme di punti. dopo ci sono i teoremi sono delle affermazioni che devono essere spigati che devono essere spiegati
L’ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra angoli, a cui appartiene l’angolo.
postulati di appartenenza e postulati d'ordine sono delle proprietà non dimostrate però accettate come vere
postulati di appartenenza
3)tre punti distinti non allineati appartengono solo ad un piano
4)se una retta è su un piano almeno un punto del piano non appartiene alla retta
2)due punti distinti appartengono a una sola retta
5)se una retta passa per due punti di un piano no appartiene al piano
1)in una retta ci sono almeno 2 punti distinti invece in un piano ci sono almeno tre punti distinti ma non allineati
postulati d'ordine
3)c'è almeno un punto che precede A e una che segue A
4)con B che prece C, c'è almeno un punto A della retta che segue B e precede C
1)se A e B sono due punti distinti di una retta
2)se A precedente B e B è precedente a C, di conseguenza A è precedente a C
data una retta orientata e un suo punto O, sono semirette:
Data una retta orientata e i suoi punti A e B, con A che precede B, il segmento AB è l’insieme dei punti della retta formato da A, da B e dai punti che seguono A e precedono B.
Due segmenti sono:
Dati nel piano i punti O e A, la circonferenza di centro O e raggio OA è l’insieme dei punti del piano che hanno da O distanza uguale a quella di A. L’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni si chiama cerchio.
Data una retta r di un piano, un semipiano di origine r è l’insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r.
In una figura convessa, presi due punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è contenuto tutto nella figura. In una figura concava questa proprietà non è vera per almeno due punti.
Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette.
l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo precedono;
l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo seguono.
Un poligono è l’insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.
Un poligono con tutti i lati congruenti è equilatero, con tutti gli angoli congruenti è equiangolo. Un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo.
Due angoli sono:
consecutivi se hanno in comune solo un estremo;
adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
consecutivi se hanno in comune il vertice e un lato e giacciono da parti opposte rispetto al lato in comune;
Un angolo è piatto quando i suoi lati appartengono alla stessa retta. L’angolo giro è l’angolo che coincide con l’intero piano.
Due figure sono congruenti se sono sovrapponibili mediante un movimento rigido.
Per i segmenti è possibile fare il confronto ed eseguire le operazioni di addizione e di sottrazione. Inoltre, definiamo multiplo del segmento a secondo il numero naturale n il segmento b:
Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
Anche per gli angoli è possibile fare il confronto, eseguire le operazioni di addizione e di sottrazione, definire multipli e sottomultipli.
La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli congruenti.
Due angoli sono:
complementari se la loro somma è un angolo retto;
supplementari se la loro somma è un angolo piatto;
esplementari se la loro somma è un angolo giro.
Teorema. Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, allora sono congruenti.
Due angoli sono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
Teorema. Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.
La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti.
La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti, a cui appartiene il segmento.
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Per misurare la lunghezza di un segmento PQ, fissiamo la lunghezza di un altro segmento AB,
non nullo, come unità di misura: se PQ = m AB, m numero razionale positivo o nullo, diciam è la misura della lunghezza di PQ
n con n mo che n
rispetto ad AB e che le lunghezze PQ e AB sono commensurabili.
Per misurare l’ampiezza di un angolo a fissiamo l’ampiezza di un angolo b, non nullo, come unità di misura.