Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
積分 第四組 7 呂冠威 11 施長志 13 翁翊勛 31 劉醇億 38 陳重元 (性質 (保號性 (如果一個函數f在某個區間上黎曼可積…
積分
第四組
7 呂冠威
11 施長志
13 翁翊勛
31 劉醇億
38 陳重元
定義
黎曼積分
設有閉區間[a,b]，那麼 [a,b]的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列 a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b。
而閉區間[a,b]上的一個取樣分割是指在進行分割a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b後，於每一個子區間中[x_i,x_i+1]取出一點 x_i≤t_i≤x_i+1
勒貝格積分
源於機率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。
黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里
勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。
黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。
在一維實空間中，一個區間 A = [a, b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值， b − a。
測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。
其他定義
達布積分：等價於黎曼積分的一種定義，比黎曼積分更加簡單，可用來幫助定義黎曼積分。
黎曼－斯蒂爾傑斯積分：黎曼積分的推廣，用一般的函數g(x)代替x作為積分變量。
勒貝格－斯蒂爾傑斯積分：勒貝格積分的推廣，推廣方式類似於黎曼－斯蒂爾傑斯積分，用有界變差函數g代替測度u 。
哈爾積分：由阿爾弗雷德·哈爾於1933年引入，用來處理局部緊拓撲群上的可測函數的積分，參見哈爾測度。
伊藤積分：由伊藤清於二十世紀五十年代引入，用於計算包含隨機過程如維納過程或半鞅的函數的積分。
性質
線性
如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。
所有在I上可積的函數構成了一個線性空間
黎曼積分的意義上，所有區間[a, b]上黎曼可積的函數f和g都滿足
所有在可測集合I上勒貝格可積的函數f和g都滿足
在積分區域上，積分有可加性。
如果函數f在兩個不相交的可測集I和J上勒貝格可積
如果函數f勒貝格可積，那麼對任意∊>0，都存在δ，使得ℱ中任意的元素A，只要u(A) <δ，就有∫_{A} | f |du <∊
保號性
如果一個函數f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。
如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。
如果勒貝格可積的非負函數f在I上的積分等於0，那麼f幾乎處處為0
如果F中元素A的測度u(A)等於0，那麼任何可積函數在A上的積分等於0
函數的積分表示了函數在某個區域上的整體性質，改變函數某點的取值不會改變它的積分值。
對于勒貝格可積的函數，某個測度為0的集合上的函數值改變，不會影響它的積分值。
如果對F中任意元素A，可積函數f在A上的積分總等於（大於等於）可積函數g在A上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g
介值性質
如果f在I上可積，M和m分別是f在I上的最大值和最小值
其中的L(I) 在黎曼積分中表示區間I的長度，在勒貝格積分中表示I的測度
絕對連續性
積分的絕對連續性表明，如果函數在某區間或集合上可積，那麼當積分區域是近乎全區域的時候，積分的值也會逼近在全區域上的積分值
積分不等式
涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。
如柯西不等式的積分版本
更廣泛的赫爾德不等式也有積分版本
此外閔可夫斯基不等式也有積分版本
對于勒貝格可積的函數，類似的不等式可以幫助構建L^p空間