Esponenziali e logaritmi

$f(x) = g(x)$

Esponenziali

Logaritmi

$y = a^x$

$\begin{cases}a > 0 \\ a \neq 1\end{cases}$

Equazioni

Disequazioni

$a^x = b$

Grafico

$a > 1$, crescente: https://www.okpedia.it/data/okpedia/esponenziale.gif

$0 < a < 1$, descrescente https://media.studentville.it/articoli_media/images/funzione-esp.png

$Dominio: R \\ Codominio: R^+ \\ Inters. x → MAI (asintoto) \\ Inters. y = (0, 1) SEMPRE$

$b > 0$

$ b \le 0 $

Ammette una soluzione

Impossibile

Risoluzione!

$a^{f(x)} = a^{g(x)}$

$f(x) = g(x)$

Due potenze con la stessa base sono uguali se e solo se lo sono i loro esponenti

Equazioni risolvibili con sostituzione

$2^{2x}-2^x-4=0 \\ 2^x = t \\t^2 - t + 4 = 0 \\ 2^x = t_1 = t_2 $

$a^{f(x)} = b^{g(x)}, a \ne b$

$log(a^{f(x)}) = log(a^{g(x)}) \\ f(x) \cdot log(a) = g(x) \cdot log(a)$

$a^x > b $

$b \le 0 $

$b > 0$

Disequazione impossibile $a^x < b$

Sempre verificata $a^x > b$

$a > 1 $ → Disuguaglianza tra esponenti ($b = a^q$), stesso verso

$0 < a < 1 $ → Disuguaglianza tra esponenti ($b = a^q$), verso opposto

$x = log_a b \Leftrightarrow a^x = b$

$a$: base

$b$: argomento

$y = log_ax$

$Dominio: R^+ \\ Immagine: R \\ Inters. x = (1, 0) \\ Inters. y = MAI\space(asintoto) $

$\begin{cases}a > 0 \\ a \neq 1\end{cases}$

Grafico: https://static.oilproject.org/content/5916/log2(1).jpg

Proprietà

$log_a(b \cdot c) = log_ab + log_ac \\ log_a(b^c) = c \cdot log_ab \\ log_a(\frac{b}{c}) = log_ab - log_ac \\ log_ab = \frac{log_cb}{log_ca} \\ log_\frac{1}{a} b = -log_ab$

Equazioni

Valgono gli stessi metodi di quelle esponenziali

Decrescita esponenziale

Crescita esponenziale

$N(t) = N_0e^{kt}$

con $k > 0$

$Q(t) = Q_0e^{kt}$

con $k < 0$