⭐矩陣與線性方程組

矩陣及矩陣運算

反矩陣

線性方程組

LU分解

基本列運算

基本行運算

可逆矩陣

定義(種類)

基本名詞(性質)

矩陣運算

Sum : A+B
Difference : A-B
Scalar multiplication : αA

轉置 : transpose 未命名
共軛轉置 : conjugate transpose 未命名

定理
(αA+βB)^T = (αA)^T ± (βB)^T
(αA+βB)^H = (α(bar)A)^H ± (β(bar)B)^H
(A^T)^T = A
(A^H)^H = A
(AB)^T = B^T x A^T
(AB)^H = B^H x A^H

Symmetric matrix

Trace

定義

定理1

定理2

定理3

定義

定義

列運算

列基本矩陣

定理

定理

列等價

列梯形型式

Gauss-Jordan elimination

Gauss elimination

RANK

定理

定理

定理

定理

定理

定理

定義

LDU

排列矩陣

定義

定理

定理

定理

(1) F^mxn : 所有 mxn矩陣集合
(2) F = R : 實矩陣 (Real matrix)
(3) F = C : 復矩陣 (Complex matrix)
(4) n x 1 : 行矩陣 (Column matrix / vector)
(5) 1 x m : 列矩陣 (Row matrix / vector)

(1) N階方陣 : m = n
(2) 對角項元素 : diagonal element
(3) 負矩陣 : negative matrix
(4) 上三角矩陣 : upper triangular matrix
(5) 下三角矩陣 : lower triangular matrix
(6) 對角矩陣 : diagonal matrix (上&下三角)
(7) 嚴格上三角矩陣(strictly upper triangular matrix) : 對角為0
(8) 嚴格下三角矩陣(strictly lower triangular matrix) : 對角為0

定理5

線性系統

Ax=b

列梯形型式REF

Ax=0稱為homogeneous linear system

兩個系統等價equivalent

Ax=b中x所有解集合為solution set

particular solution

x與Ax=b關係

Rank

rank(A) = rank([A|B]) = n

rank(A) = rank([A|B]) < n

rank(A) ≠ rank([A|B])

consistent

only solution

consistent

exist free variable

infinite many solution

inconsiscent