9 Lorenz Equations

<hmm, får ju annorlunda (r-z ist. för r) om man räknar ut Jacobian direkt?>

The Lorenz Equations:
$\dot{x}=\sigma(y-x)$
$\dot{y}=rx-y-\color{purple}{xz}$
$\dot{z}=\color{DodgerBlue}{xy}-bz$

parameters $\sigma,r,b>0$

härleddes (av Ed Lorenz 1963) från mkt förenklad model av convection rolls i atmosfären.

hamnar i ett komplicerat set: en strange attractor

är inte en punkt/kurva/yta, utan är en fraktal
med faktaldimension mellan 2 och 3

Simple Properties of the Lorenz Equations

Systemet har endast två ickelinjäriteter, de kvadratiska termerna $\color{purple}{xz}$ och $\color{DodgerBlue}{xy}$.

$\sigma$: the Prandtl number
$r$: the Rayleigh number
$b$ has no name (in the convection problem it is related to the aspect ratio of the rolls)

Symmetry
Förblir densamma under $(x,y)\rightarrow(-x,-y)$
Så om $(x,y,z)$ är en lösning är även $(-x,-y,-z)$ det.

Volume Contraction
Lorenz-systemet är dissipativt: volymer i phase space drar ihop sig under flödet.

Generellt, för ett 3-dimensionellt system $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$

För Lorenz-systemet får vi
$\nabla\cdot\mathbf{f}=\frac{\partial\dot{x}}{\partial x}+\frac{\partial\dot{y}}{\partial y}+\frac{\partial\dot{z}}{\partial z}=-\sigma-1-b<0$
Divergensen är alltså konstant, så att # ger oss
$\dot{V}=-(\sigma+1+b)V$
Detta har ju lösningen
$V(t)=V(0)e^{-(\sigma+1+b)t}$
Alltså krymper volymer i phase space exponentiellt fort.

"Hence, if we start with an enormous solid blob of initial conditions, it eventually shrinks to a limiting set of zero volume, like a balloon with the air being sucked out of it."

Fixed Points

Två typer

Origo är en FP för alla parametervärden. (Som när vattenhjulet står stilla)

För $r>1$ finns även ett symmetriskt par av FPs
$x^{*}=y^{*}=\pm\sqrt{b(r-1)}$
$z^{*}=r-1$
Lorenz kallade dessa $C^{+}$ och $C^{-}$ (representerar vänster- och högerroterande konvektionsrolls (analogous to the steady rotations of the waterwheel).

När $r\rightarrow1^{+}$ koalescerar $C^{+}$ och $C^{-}$ med origo i en pitchfork bifurcation.

Linear Stability of the Origin

Linjäriseringen i origo är
$\dot{x}=\sigma(y-x)$
$\dot{y}=rx-y$
$\dot{z}=-bz$
(fås genom att utesluta de kvadratiska termerna $\color{purple}{xz}$ och $\color{DodgerBlue}{xy}$. Ekvationen för $z$ är decoupled och visar att $z(t)\rightarrow0$ exponentiellt fort. De andra två riktningarna styrs av
$\left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\sigma & \sigma\\ r & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$
med
$\tau=-\sigma-1<0$
$\Delta=\sigma(1-r)$

Om $r>1$ är origo en saddle point eftersom $\Delta<0$. Notera att detta är en ny sorts saddle för oss, eftersom det fullständiga systemet är 3-dimensionellt. Om man inkluderar den krympande z-riktningen har saddlen en utgående och två inkommande riktningar.

Om $r<1$ är alla riktningar inkommande och origo är en sink. Specifically, since $\tau^{2}-4\Delta=(\sigma+1)^{2}-4\sigma(1-r)=(\sigma-1)^{2}+4\sigma r>0$ så är origo en stable node för $r<1$.

<hmm, får ju annorlunda (r-z ist. för r) om man räknar ut Jacobian direkt?>

Global Stability of the Origin

Actually, for $r<1$, we can show that every trajectory approaches the origin as $t\rightarrow\infty$; the origin is globally stable. Hence there can be no limit cycles or chaos for $r<1$.

Bevis

Innebär att man konstruerar en Liapunov-funktion, en smooth, positive definite funktion som minskar längs banor.
Som diskuterats i 7.2 så är en Liapunov-funktion en generalisering av energifunktioner i klassiska mekaniska system (minskar monotoniskt under friktion).
"There is no systematic way to concoct Liapunov functions, but often it is wise ot try expressions involving sums of squares."

Här tittar vi på $V(x,y,z)=\frac{1}{\sigma}x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Ytorna av konstanta V är koncentriska ellipsoider kring origo

Stability of $C^{+}$ and $C^{-}$

Antag nu att $r>1$ så att $C^{+}$ och $C^{-}$ existerar. Beräkningen av deras stabilitet = Exercise 9.2.1. De visar sig vara linearly stable för
$1(assuming also that \(\sigma-b-1>0$). Vi använder ett subscript H eftersom $C^{+}$ och $C^{-}$ skulle förlora stabilitet i en Hopf-bifurcation i $r=r_{H}$.

Vad händer precis efter bifurcationen, för r något större än $r_{H}$? You might suppose that $C^{+}$ and $C^{-}$ would each be surrounded by a small stable limit cycle. That would occur if the Hopf bifurcation were supercritical. But actually it is subcritical -- the limit cycles are unstable and exist only for \(r
FP:n är stable. It is encircled by a saddle cycle, a new type of unstable limit cycle that is possible only in 3d (or more) phase spaces. The cycle has a two-dimensional unstable manifold (the sheet in the figure), and a ...