Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
FEM - Coggle Diagram
FEM
Begrepp
Lumpad lastvektor, fördela kraften på ett element lika mellan noderna
Gradient:
$$\nabla \Theta=[\frac{\partial \Theta}{\partial x} \; \frac{\partial \Theta}{\partial y} ]'$$
Divigernce
$$div(\nabla \Theta)=div \left([\frac{\partial \Theta}{\partial x} \; \frac{\partial \Theta}{\partial y} ]'\right)=\frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \Theta}{\partial y^2}= \triangle \Theta $$
-
Potentiell energi
$$\Gamma(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-(v,b) \; \;\forall v \in V$$
Där den bästa lösningen har minst potentiell energi då den har deformeras bäst så att minst energi är kvar i systemet. (v,b) är yttre lastens potential se F17 för mer information
-
Energi i felet= felet i energi
$$a(e,e)=a(u,u)-a(u_h, u-h)$$
-
N är en radvektor med basfunktionerna
$$N=[N_1 \; N_2 \; ... N_n]$$
Men om det är ett elassticitetsproblem i 2d blir det istället:
$$N=[N_1\; 0 \; N_2 \; ... N_n \; 0; 0 \;N_1 \; 0 \; N_2 \; ...0 \; N_n ]$$
a är en kolumnvektor med nodvariablar
För elastisitetsproblem i 2d blir det:
$$a=[a_{x1} \; a_{y1} \; a_{x2} \; a_{y2}\; ... \; a_{xn} \; a_{yn}]^T$$
B är en radvektor med antingen första derivatan eller andraderivatan av N
Men om det är elasticitetsproblem i 2d blir det:
$$B=\tilde{\nabla}N =[\frac{\partial N_1}{\partial x}\; 0 \; \; ... \frac{\partial N_n}{\partial x} \; 0; 0 \;\frac{\partial N_1}{\partial y} \; 0 \; ...0 \; \frac{\partial N_n}{\partial y}; \frac{\partial N_1}{\partial y} \; \frac{\partial N_1}{\partial x} ... \frac{\partial N_n}{\partial y} \; \frac{\partial N_n}{\partial x} ] $$
V för icke elastiska sätts enligt galerkings metod väls v som en godtycklig linjärkombination av basfunktionerna:
$$v=N_1c_1+N_2c_2+ ...+ N_nc_n=Nc=c^TN^T$$
för elastisitetsproblem i 2d blir det:
$$v=[N_1; 0], [0; N_1]\; ... \;[N_n; 0], [0; N_n] $$
Completness Måste vara möjligt att välja basfunktionerna som en konstant, c-cont. GRUND KRAV
Compability/ conforming måste vara kontiuerligt över gärnserna mellan ellementen, är ett element inte konform så ligger det inte i samma funktionsrum som det korrekta lösningen
-
-
-
Matlab
-
edof contains information about the element. One row for each elment. First position is the named number for the element. then the nodes, dof, that is contanded in the element
-
-
-
-
Randvillkor
Robin/Konvektiv/Newton
- Randvillkor i from av en linjärkomb av funktionen och dess derivata
- Går in i f och K
Neumann/naturliga
- Randvillkor på derivatan av funktionen f'(r)=t
- Går in i f
- Sätts in vid partialderivatan
Dirchlet/ väsentliga
- Randvillkor på funktionen själv, f(r)=t
- Påverkar lösningen av Ka=f
- Sätts först in vid lösningen, solveq, i form av vissa låsta värden, bc
Bra beräknings regler
-
-
Green gaus
Ekv (5.26) i boken
Används för att skriva om integraler över ytan till integraler över ränderna
Beräkningsgång
Randvärdesproblem/ stark form
- Består av diff ekvation(er) och randvillkor
- Ordning 2m, m=1 eller 2
Variationsproblem/ svagfrom
- Består av intregralekvation
- Ordning m
- Görs genom att multiplicera med en nästan godtycklig testfunktion och integrera över området. Sedan används partialintegration. Utveckla randtermerna och på de termerna där funktionens derivatas värde är okänt sätts testfunktionen till 0
FE-formulering kap 10
- $$\mathbf{Ka=f}$$
- Ges av
$$u\approx u_h \in V_h=\mathbf{Na} $$
- Här används också galerkins metod och sätter:
$$\forall v \in V_h \rightarrow v(x)=\mathbf{Nc}$$ där c är godtycklig
- Då c dyker upp i alla termer kan denna tas bort då det enda som kan vara ortogonal mot en godtycklig vektor är noll vektor
- I många fall kan det underlätta att sätta:
$$\frac{d\mathbf{u_h}}{d\mathbf{x}} = \frac{d\mathbf{N}}{d\mathbf{x}}\mathbf{a}=\mathbf{B}\mathbf{a}$$
eller
$$\frac{d^2\mathbf{u_h}}{d\mathbf{x}^2} = \frac{d^2\mathbf{N}}{d\mathbf{x}^2}\mathbf{a}=\mathbf{B}\mathbf{a}$$
- K och f assembleras elementvis
-
-