ESPACIOS VECTORIALES
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas que plantean.
¿Qué es?
PROPIEDADES VECTORIALES
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A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan «naturales»:
Propiedad 1: 0u=0v
Propiedad 2: α 0v=0v
Propiedad 3: (-α)u=-(α u)
En particular, para α = 1:(-1)u=-u
Propiedad 4: Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:
Si α = 0, se cumple la proposición.
Si α ≠ 0, podemos multiplicar por 1/α:
α u=0v⇒(1/α) α u=1/α 0v⇒u=0v
SUBESPACIOS VECTORIALES
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
Son:
1) Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V. (Cerradura bajo la suma).
2) Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z). (Ley asociativa de la suma de vectores).
3) Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X. (El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo).
4) Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0. (-x se llama inverso aditivo de x).
5) Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x. (Ley conmutativa de la suma de vectores).
6) Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V. (Cerradura bajo a multiplicación por un escalar).
7) Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay. (Primera ley distributiva).
8) Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by. (Segunda ley distributiva).
9) Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x. (Ley asociativa de la multiplicación por escalares).
10) Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
SUBESPACIOS TRIVIALES
Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo.
0v+0v=0v y k0v=0v, para cualquier k real.
Los subespacios {0v} y V se denominan subespacios triviales de V.