Transformaciones Lineales
DEFINICIÓN
REPRESENTACIÓN MATRICAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales, si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn à Rm.
Expansión
Contracción
Reflexión
Rotación
Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y.
La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido.
La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada.
La rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo.
Significa
Las transformaciones lineales son las funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales.
Propiedades generales
T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
Entonces
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales
T (u + v) = T (u) + T (v)
T (c u) = c T (u)
Por otro lado, para todo escalar c
Como se cumplen las dos condiciones: T es lineal.
Significa
Sean
V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) ={v ∈ V / f(v) = 0} = f^−1 ({0}).
A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.
Ejemplo
Sea f : R^3 → R^2 la transformación lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, x2).
Nu(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R^3 : f(x1, x2, x3) = 0}
= {(x1, x2, x3) ∈ R^3 : x1 = x2 = 0}
= < (0, 0, 1) > .
Demostración
(⇒) Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = {0}.
(⇐) Sean v, v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v^1) Entonces f(v − v^1) = f(v) − f(v^1) = 0, con lo que v−v^1 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = {0} implica que v−v^1 = 0, es decir, v = v^1. Luego f es inyectiva.
Conjunto importante de la transformación lineal
Recordamos que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. Se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V → W resulta
ser un subespacio de W.
Significa
Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f : V → W queda unívocamente determinada por los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V . Además, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en K^m.
Representación Matricial de una transformación R3 en R4
Si se tiene una transformación T: R3 → R4 dada por
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La T representa
La transformación, que será representada por AT, mientras que la matriz a su lado representa el vector original. El resultado es la transformación realizada.
Como poder representarla de forma matricial
Lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya que a la vez se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.
Para este caso utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones
Y su representación quedaría como la matriz de trasformación multiplicando al vector original para dar como resultado a la transformación:
Observaciones
Si consideramos la transformación lineal asociada a una matriz A ∈ Kn×m, fA : Km → Kn definida por fA(x) = A.x, entonces, a partir de la definición anterior, la matriz de fA en las bases canónicas E y E0 de Km y Kn respectivamente resulta ser |fA|EE0 = A.
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, y sean B1 y B2 bases de V . Entonces |idV |B1B2 = C(B1, B2), la matriz de cambio de base de B1 a B2.
Mediante el uso de las matrices introducidas de vectores de coordenadas, toda transformación lineal puede representarse como la multiplicación por una matriz fija
Rodríguez Zamora Eduardo ING. Administración