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TRANSFORMACIONES
LINEALES, Definición de transformación lineal, ., Núcleo…
TRANSFORMACIONES
LINEALES
Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contra dominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que a cada vector le asocia un único vector , y que satisface que
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Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V→W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V.
Representación Matricial de una transformación R3 en R4.
Si se tiene una transformación T: R3 → R4 dada por:
La T representa la transformación, que será representada por AT, mientras que la matriz a su lado representa el vector original.
Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya que a la vez se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.
Para este caso utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones que se realizaron.;
Y su representación quedaría como la matriz de trasformación multiplicando al vector original para dar como resultado a la transformación:
Dilatación
La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido.
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
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Contracción
La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada.
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
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Aplicación de las transformaciones lineales:
Reflexión, dilatación, contracción y rotación
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