TRANSFORMACIONES
LINEALES
Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contra dominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.
Reflexión
Núcleo de una
transformación
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que a cada vector le asocia un único vector , y que satisface que
Definición de transformación lineal
Imagen de una
transformación lineal
Llamamos imagen de F al
conjunto de vectores de W que son
imagen de algún vector de V.
I m(F)= {w ∈W| w=F(v), v ∈V}
.
Sea F:V→W una transformación lineal.
Llamamos núcleo de F al conjunto de
vectores del dominio cuya imagen
por F es el 0W
N u(F)= {v ∈V|F(v)=0W}
El núcleo de una transformación lineal
es un subespacio de V.
La imagen es un subespacio de W.
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V→W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V.
Representación Matricial de una transformación R3 en R4.
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Si se tiene una transformación T: R3 → R4 dada por:
La T representa la transformación, que será representada por AT, mientras que la matriz a su lado representa el vector original.
Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya que a la vez se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.
Para este caso utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones que se realizaron.;
Y su representación quedaría como la matriz de trasformación multiplicando al vector original para dar como resultado a la transformación:
Representación matricial de una transformación lineal
Dilatación
Contracción
Rotación
Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado.
La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
En este caso, para averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido.
La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Rotación por un ángulo
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada.
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Aplicación de las transformaciones lineales:
Reflexión, dilatación, contracción y rotación
Naranjo Solis Kenya Nallely
Grupo A
3 semestre