Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Признаки равенства треугольника, :, Хуснуллина Мария 7Б - Coggle Diagram
Признаки равенства треугольника
1 признак равенства треугольников
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.
задачи
Треугольник ABC - равнобедр биссектриса ! к основанию АВ.
Докажите, что ACD = BCD
Доказательство:
Докажем, что два треугольника равны по первому признаку.
Из условия мы имеем, что
∠ACD = ∠DCB (CD - биссектриса);
AC = BC ( треугольник АВС - равнобедренный);
CD принадлежит обоим треугольникам.
Тогда, треугольники ACD и BCD имеют две равные стороны и угол между ними.
Поэтому треугольники △ACD и △BCD - равны.
Докажите, что если треугольник ABC = A1B1C1 и для всех точек M и M1 на сторонах AB и A1B1 верно, что AM = A1M1 CM = C1M1 и угол BMC = B1M1C1
Доказательство:
равен треугольникпотому что треугольник △ABC = △A1B1C1
AB = A1B1,
BC = B1C1, CA = C1A1 и
углы A = A1, B = B1, C = C1.
Тогда △AMC = △A1M1C1 (по первому признаку), откуда CM = C1M1.MB = M1B1 потому что из равных отрезков AB и A1B1 мы вычитаем равные отрезки AM и A1M1. Углы BMC и B1M1C1 - равны, потому что они являются смежными углами к углам AMC и A1M1C1, которые равны (треугольник AMC равен A1M1C1)
2 признак равенства треугольников
теорема
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
доказательство
Подвинем и совместим треугольники точками A и A1.
Повернём и лучи AB и A1B1 — также совместим в один луч AA1BB1.
На этом луче от его начала отложим отрезки AB и A1B1.
Поскольку линейные меры отрезков равны, то точки B и B1 совпадут.Доказательство второго признака равенства треугольников
От луча AB в верхней полуплоскости отложим углы A и A1.
Поскольку градусные меры углов равны, то получившиеся лучи совпадут в один луч AA1СС1.
От луча BA в верхней полуплоскости отложим углы B и B1. Поскольку градусные меры углов равны, то получившиеся лучи совпадут в один луч BB1CC1.
У нас получилось два луча (или полупрямых) AA1CC1 и BB1CC1.
А две прямые могут пересечься только в одной точке.
Значит и точки C и C1 — также совпадут.
Таким образом, при наложении эти два треугольника совместятся всеми своими точками, а значит они равны.
Что и требовалось доказать.
задачи
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
Докажите, что ∠B = ∠C
∠BAD = ∠CDA как углы равные сумме равных углов, тогда треугольники ABD и ACD равны по второму признаку, а значит и ∠B = ∠C.
∠1 = ∠2, AB = BC.
Докажите, что AE = CD
.По условию, ∠1 = ∠2. Заметим, что ∠BAE + ∠1 = 180о = ∠BCD + ∠2, поскольку ∠BAE и ∠1, а так же ∠BCD и ∠2 смежные. Значит, ∠BAE = ∠BCD как смежные с равными, ∠B общий для треугольников BAE и BCD, AB = BC по условию.
Тогда треугольники BAE и BCD равны по второму признаку, и тогда AE = CD.
3 признак равенства треугольников
Теорема
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.
Доказательства
Пусть даны треугольники ABC и KLM. В результате измерений было выяснено, что AB = KL, BC = LM, AC = KM.
Треугольники с равными сторонами
Совместим два треугольника по их самой длинной стороне так, чтобы получилась симметричная фигура.
В данном случае совместили стороны BC и LM. По условию они равны друг другу, поэтому совпадают. Вершины A и K находятся по разные стороны от общей стороны. При этом сторона AB симметрична равной ей стороне KL относительно общей стороны BC (LM). То же самое касается сторон AC и KM.
Теперь проведем отрезок AK. Получатся два новых треугольника: AKC (он же AKM) и AKB (он же AKL). Эти треугольники равнобедренные. У ∆AKC AC = KM, у ∆AKB AB = KL.
Как известно, в равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Это значит, что в ∆AKC ∠KAC = ∠AKC, а в ∆AKB ∠KAB = ∠AKB. Это значит, что ∠KAC + ∠KAB = ∠AKC + ∠AKB. Но первая сумма это угол A в ∆ABC, а вторая сумма — ∠K в ∆KLM. Значит, ∠A = ∠K.
В треугольниках ABC и KLM соответственно равны стороны AB и KL, AC и KM (по условию задачи). И как мы выяснили, угол A равен углу K.
В соответствии с первым признаком равенства треугольников, если у них равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны. Значит ∆ABC = ∆KLM. Таким образом третий признак равенства треугольников был доказан
задачи
Дано:AF=BK,AK=BF
Доказать: ∆AFB=∆BKA
Доказательство: Рассмотрим треугольники AFB и BKA.
1) AF=BK (по условию)
.2) AK=BF (по условию).
3) AB — общая сторона.
Следовательно, ∆AFB=∆BKA по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD=120 градусов
Найти:∠CBD.
Решение:
CD-общая
AC=BC
AD=BD
Значит, треугольники АСD и ВСD равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. ∠СВD = ∠САD=120 градусов
:
Хуснуллина Мария
7Б
