Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

סכום ישר, לכסון, פולינום אופייני - Coggle Diagram

- - - - :!: כאשר נתון אופרטור על מרחב שהוא מרחב הסכום של ת"מ בסכום ישר, המטריצה המייצגת של האופרטור לפי בסיס B למרחב הסכום היא מטריצת בלוקים אלכוסנית כאשר כל בלוק הוא המטריצה המייצגת של האופרטור לת"מ המצומצם.
        ראה עמוד 24 אצל פבל
      - :warning: כאן חשוב לזכור שהגדרת הבסיס החדש אנחנו מדברים על סדרה של ווקטורים ולא קבוצה, כי אחרת יכול לחזור ווקטור פעמיים והקבוצה תישאר בת"ל מהגדרת קבוצה (סט)
- - - - :warning:
        אם f לכסין, אז קיימים לו אינסוף בסיסים מלכסנים.
        לעומת זאת, אם אינו לכסין אז לא קיים בסיס
      - מטריצה לכסינה
        
        :star:
        מטריצה A היא לכסינה אם היא מטריצה דומה למטריצה אלכסונית, כלומר קיימת מטריצה הפיכה M ומטריצה D אלכסונית כך שמתקיים:
        
        :!: אופרטור הוא לכסין אמ"מ קיימת מטריצה לכסינה שהיא מייצגת אותו לפי בסיס כלשהו
        
        :warning:
        המטריצה המלכסנת, כלומר המטריצה M, היא מטריצה שעמודותיה הם ווקטורים עצמיים של המטריצה A.
        :warning:
        המטריצה D היא אלכסונית כמובן, והאלכסון שלה הוא ע"ע של A
        
        :!: אופרטור עם k ווקטורים עצמיים המתאימים לע"ע שונים זה מזה גורר שכל הווקטורים הנ"ל בת"ל
        
        :warning: מכאן מסיקים שאם מרחב
        ממימד K מכיל K ווקטורים עצמיים המתאימים לע"ע שונים זה מזה, אז הווקטורים האלו הם בסיס למימד וגם האופרטור לכסין
        
        :red_cross: ההפך לא בהכרח נכון, אופרטור יכול להיות לכסין גם עם ע"ע אחד, לדוגמה אופרטור שהוא העתקת הזהות.
        
        :check: נסיק מכאן גם שמרחב
        שמימדו k, יכיל לכל היותר k ווקטורים עצמיים המתתאימים לk ע"ע שונים.
        
        קריטריון ללכסון
        
        :!: בהינתן אופרטור, המרחבים העצמיים שלו ביחס לע"ע שונים נמצאים בסכום ישר (סכום לא בהכרח שווה למרחב שהאופרטור עובד עליו)
        
        1 more item...
        
        :!: קריטריון נוסף ללכסון הוא הפולינום האופייני של האופרטור מתפרק לגורמים לינאריים, וכן הריבוי האלגברי של כל ע"ע של האופרטור שווה לריבוי האלגברי של אותו ע"ע
- - - - :warning: חשוב להגדיר מראש באיזה שדה עובדים! אחרת המצב אינו מוגדר היטב
      - פולינום אופייני של אופרטור
        
        :!: אם AB שתי מטריצות דומות אז הפולינומים האופיינים שלהן שווים זה לזה
        
        :!!: המשפט היסודי של האלגברה מבטיח נו שמעל שדה המרוכבים, לכל אופרטור יש לפחות ערך עצמי אחד
        
        פול' אופייני של מרחבים f-אינווראנטיים
        
        :!: אם U מרחב f אינ' אז הפול' האופייני שלו מחלק את הפול' האופייני של המרחב הגדול
        
        :warning: זה מתקבל בעקבות חישוב הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת של האופרטור (יש לה בלוק אפסים)
        
        :!: הפולינום האופייני של מטריצה מלווה של פול' כלשהו הוא הפולינום המיוצג ע"י המטריצה המלווה
        
        1 more item...
        
        :red_flag: נסיק מכאן שאם הן דומות אז הערכים העצמיים שלהן הם אותם ערכים
        :red_flag: למרחבים העצמיים שלהן יש גם את אותם הריבויים הגאומטריים
        
        :warning: זה כמובן לא מבטיח לנו שיש להן את אותם הווקטורים העצמיים (אם כי נוכל לעבור לייצוג ע"י מטריצת מעבר בסיסים)
  - - - :!:הפולינום האופייני של מטריצה 2X2:
        
        :!:המקדם של הנעלם הלפני אחרון בפול' אופייני של מטריצה ריבועית שווה לנגדי של העקבה
        
        :!: לשתי מטריצות דומות העקבה היא אותה עקבה
        
        :warning::red_flag:
        זאת אחלה דרך לשלול דמיון של מטריצות.
        לשים לב שאם יש להן אותה עקבה הן לא בהכרח דומות