TRANSFORMACIÓN LINEAL
Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por
es lineal.
Entonces :
Por otro lado, para todo escalar c,
Como se cumplen las dos condiciones:
T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.
Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
Antes, se demostrará un teorema de gran utilidad.
Teorema 1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,
w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V
en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
Representacion Matricial de una Transformación Lineal
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación,
contracción y rotación.
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Rotación por un ángulo
Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal que Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:
ERNESTO AGUILAR PIEDRA