Límites
Definición intuitiva
Asíntotas
Límites cuando´X´ tiende al infinito
Teorema de valor intermedio
Continuidad de una función en un intervalo
Continuidad puntual
Definición formal
Teoremas
Horizontales
Oblicuas
Laterales
Trigonométricas
Discontinuidad evitable o removible
Abierto
Cerrado
Por izquierda
Por derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto al rededor de X0.
Decimos que f(x) se aproxima al límite L cuando x se aproxima a X0
Se escribe
Lim X → X0 f(x)=L
Son
10. Límite de la raíz n-ésima de una función
9. Límite del cociente de dos funciones
Teorema 11
8. Límite de la n-ésima potencia de la función
12. Unidad del límite
Son
3. Límite de la función lineal
2. Límite de la función identidad
4. Límite de la suma y la diferencia de dos funciones
1. Límite de una contante
5. Límite de la suma y la diferencia de n funciones
Función continua
Una función f(x) es
continua en x=c si
El límite iguala al valor de la función en c, es decir lim x→c f(x)=f(c)
f tiene límite cuando x→c, es decir lim x→c f(x) existe.
c está en el dominio de la función, es decir f(c) existe.
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe Lim f(x)
x→ a
y este es finito.
Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número a por ambos lados, entonces decimos que "El Límite de f(x) es L cuando x tiende a a
Se escribe
Lim f(x) = L
x→ a
Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito.
Ejemplo
Sea y = f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y sea k un número entre f(a) y f(b). Entonces, existe un número x_0 en el intervalo [a,b] (es decir, a <=x_0 <=b) que satisface: f(x_0) = k.
f continua en x= a
Lim f(x) = f(x)
x→ a
Condiciones que deben cumplirse
La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
Los dos valores anteriores coinciden.
Existe el límite de la función f(x) en x=a.
Tipos
La función no está definida en x = a
La imagen no coincide con el límite
No existe f(a)
f(a)≠ Lim f(x)
x→ a
Sea la función y= f(x), si la curva horizontal en y = e entonces la ecuación de la asintonta es:
y= Lim f(x)
x→∞
o
y= Lim f(x)
x→ -∞
Se denomina asíntota oblicua a aquella recta cuyo angulo de inclinacion es diferente de 0° y 90°.
Caso I
Caso II
La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:
Sea una función f(x)= (Q(X)/(P(X) donde el grado de Q(x) es mayor que uno y mayor al grado de P(x), la funcion tiene una asíntota oblicua no lineal.
En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).
En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).
Límite por la derecha
Límite por la izquierda
Teorema
Sea f(x) una función definida en el intervalo abierto (x0, b) el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0 por la dercha L y se representa:
Sea f(x) una función definida en el intervalo abierto (x0, b) el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0 por la izquierda L y se representa:
El límite cuando x→x0 de una función f(x), existe y es igual a L, si solo si los límites laterales son iguales a L
Lim f(x)=L
x→x0
Lim f(x)= L
x→x0
Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen los siguientes límites de funciones trigonométricas:
6. Límite del producto de dos funciones
7. Límite del producto de n funciones
Si c es una constante, entonces para cualquier número a, entonces, es:
Lim c = c
x→ a
Lim 2 = 2
x→ 7
Lim x = a
x→ a
Lim x= 5
x→ 5
Si my b son dos constantes cualesquiera, entonces
Lim (mx+b) = mx+b
x→ a
Lim (2-3x) = 2-3(-1)=2+3=5
x→ -1
Si una función y = f(x) tiene límite, el mismo es único.
Si a > 0 y n es un entero positivo, o si a < 0 y n es un número entero impar, entonces
El límite de la raíz n-ésima de una función es igual a la raíz n-ésima del límite de la función por separado para un determinado punto en el cual esté definida dichas funciones.
El límite del cociente o límite de la división de dos funciones es igual al cociente de los límites de las dos funciones por separado para un determinado punto en el cual esté definida dichas funciones
límx→x0 f(x) / g(x) = límx→x0 f(x) / límx→x0 g(x)
f(x) = L Y 
f(x) = L*
Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa con dos paréntesis (a,b).
La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo
Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes.
La función es continua si:
f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b))
[a,b) (no incluye b).
(a,b] (no incluye a).
La función es continua si
f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
La función es continua si
f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).