Șiruri de numere reale
Studiul convergenței
Teorema lui Weierstrasse: Dacă un șir de numere reale este monoton și mărginit atunci el este convergent.
Cu subșiruri
Șiruri divergente
Limite-tip de șiruri
Cu subșiruri
Calcul limitei
Polinomiale
Raționale
Șirul lui Euler
Nedeterminări
∞-∞,∞/∞,0∙∞,1^∞,∞^0,0^0
Metode de eliminare a nedeterminărilor
Criterii de convergență
lim(1+1/n)^n = e
Studiul monotoniei
click to edit
se calculează diferența x_(n+1)-x_n și se compară cu 0
Pentru șiruri cu termeni pozitivi se calculează raportul x_(n+1)/x_n și se compară cu 1
Prin inducție matematică pentru șirurile recurente sau cele care au termen general complicat
Dacă un șir de numere reale nu are limită sau are limită infinită, atunci este divergent.
Dacă un șir este nemărginit atunci este divergent.
click to edit
Criteriul majorării
Dacă xn ≤ yn și lim xn=+∞ atunci lim yn=+∞
Dacă xn ≤ yn și lim yn=-∞, atunci lim xn=-∞.
Dacă |xn-l|≤ yn și lim yn = 0 atunci lim xn= l.
Criteriul cleștelui
Dacă xn ≤ yn ≤ zn și lim xn = lim zn = l, atunci lim yn = l
Criteriul raportului
click to edit
Fie (xn) un șir de numere pozitive cu lim x(n+1)/xn =l. Dacă l∈[0;1) atunci lim xn=0. Dacă l∈(1;+∞), atunci lim x_n=+∞
Criteriul rădăcinii
Fie (xn) un șir de numere pozitive cu lim x(n+1)/xn =l, l∈R ̅. Atunci lim√(xn )=l.
Teorema lui Cesaro-Stolz
Dacă lim xn = 0, atunci lim ( sinxn) /x_n =1 , lim (arcsinxn) /x_n =1, lim ( tg xn) /x_n =1, lim (arctgxn) /x_n =1
Limita unui șir definit de o funcție polinomială este limita termenului de grad maxim.
Limita depinde de gradul numărătorului și al numitorului și de coeficienții termenilor de grad maxim.
Scoaterea factorului forțat
Amplificare cu conjugata
Aplicarea limitelor-tip
Studiul mărginirii
- se calculează câțiva termeni, se observă în ce interval se situează, apoi se demonstrează, utilizând inegalități echvalente, că orice termen al șirului se află în acel interval
Prin inducție matematică
Dacă un șir are două subșiruri care au limite diferite, atunci șirul este divergent.
Dacă un șir are două subșiriri care ”acoperă” mulțimea termenilor șirului, și acestea au aceeași limită finită, atunci șirul este convergent.
Legătura dintre convergență și mărginire: dacă un șir este convergent atunci este mărginit.
Dacă avem două șiruri (xn), (yn) și (yn) este nemărginit și crescător, și există lim(x_n+1-xn)/(y_n+1-yn) = l, atunci lim(xn/yn) = l.
Dacă gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului, limita este (+/-) ∞, după cum este semnul raportului coeficienților termenilor de grad maxim.
Dacă gradul numărătorului este egal cu cel al numitorului, limita este raportul coeficienților termenilor de grad maxim.
Dacă gradul numărătorului este mai mic decât cel al numitorului, limita este 0.
Dacă lim xn = 0, atunci:
lim (1+lnxn)/xn = 1
lim(1+xn)^(1/xn) = e
lim(a^xn - 1)/xn = ln a
lim((1+xn)^r - 1)/xn = r
q^n
lim (q^n)= 0 dacă q∈(-1,1)
lim (q^n)=1, dacă q = 1
lim (q^n)=+∞, dacă q>1
lim (q^n) nu există dacă q<= -1
click to edit
Calcule cu infiniți
Dacă diferența este strict pozitivă, șirul este strict crescător
Dacă diferența este strict negativă, șirul este strict descrescător
click to edit
Dacă raportul este >1, șirul este strict crescător
click to edit
Dacă raportul este <1, șirul este strict descrescător
Dacă raportul este >=1, șirul este monoton crescător
Dacă raportul este <=1, șirul este monoton descrescător
Link Title Exemple
Dacă diferența este >=0, șirul este monoton crescător
Dacă diferența este <=0, șirul este monoton descrescător
click to edit