Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Șiruri de numere reale - Coggle Diagram
Șiruri de numere reale
Studiul convergenței
Teorema lui Weierstrasse: Dacă un șir de numere reale este monoton și mărginit atunci el este convergent.
Cu subșiruri
Dacă un șir are două subșiriri care ”acoperă” mulțimea termenilor șirului, și acestea au aceeași limită finită, atunci șirul este convergent.
-
Șiruri divergente
Cu subșiruri
Dacă un șir are două subșiruri care au limite diferite, atunci șirul este divergent.
Calcul limitei
Dacă un șir de numere reale nu are limită sau are limită infinită, atunci este divergent.
-
Limite-tip de șiruri
-
Raționale
Limita depinde de gradul numărătorului și al numitorului și de coeficienții termenilor de grad maxim.
Dacă gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului, limita este (+/-) ∞, după cum este semnul raportului coeficienților termenilor de grad maxim.
Dacă gradul numărătorului este egal cu cel al numitorului, limita este raportul coeficienților termenilor de grad maxim.
Dacă gradul numărătorului este mai mic decât cel al numitorului, limita este 0.
-
Dacă lim xn = 0, atunci lim ( sinxn) /x_n =1 , lim (arcsinxn) /x_n =1, lim ( tg xn) /x_n =1, lim (arctgxn) /x_n =1
-
q^n
lim (q^n)= 0 dacă q∈(-1,1)
-
-
-
-
Criterii de convergență
Criteriul majorării
-
Dacă xn ≤ yn și lim yn=-∞, atunci lim xn=-∞.
-
Criteriul cleștelui
Dacă xn ≤ yn ≤ zn și lim xn = lim zn = l, atunci lim yn = l
Criteriul raportului
Fie (xn) un șir de numere pozitive cu lim x(n+1)/xn =l. Dacă l∈[0;1) atunci lim xn=0. Dacă l∈(1;+∞), atunci lim x_n=+∞
Criteriul rădăcinii
Fie (xn) un șir de numere pozitive cu lim x(n+1)/xn =l, l∈R ̅. Atunci lim√(xn )=l.
Teorema lui Cesaro-Stolz
Dacă avem două șiruri (xn), (yn) și (yn) este nemărginit și crescător, și există lim(x_n+1-xn)/(y_n+1-yn) = l, atunci lim(xn/yn) = l.
-
Studiul mărginirii
- se calculează câțiva termeni, se observă în ce interval se situează, apoi se demonstrează, utilizând inegalități echvalente, că orice termen al șirului se află în acel interval
-
-