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Prestress behaviour, vector f, vector u, vector F, Vector U, Hiperstatic…
Prestress behaviour
vector f
Internal forces in element bars
u^T . f
elastic deformation energy
EQUilibrium
F=Hf
H=B^T
vector u
Internal deformations
vector F
external loads
Vector U
Global movements
Work = U^T . F
COMpatilibity
u=BU
Hiperstatic problem
Elastic soluton
constitutive MATerial equations
F=KU
f=ku
Analysis problem
known
B
F
k
Search
U
u
f
Solution
U=(K^-1)*F
f=ku=kBU=kB(K^-1)F
f=SF
S=kB(K^-1)=kB((B^T)kB)^-1
F=(B^T)f=(B^T)SF
Design problems
known
B
F
Search
dimensions
r
That results in acceptable
U
u
f
k
Solution
Plastic or Limit analysis
Material behaviour
limit equation
Deformation velocities
Von mises Rule (Regla de flujo)
The orthogonality of the deformation velocity to the yield surface
positive multipliers
colapse condition
each posible colapse deformation
Colapse speed (velocidad de deformación)
initial load condition
Solution
Kinetical approach (Cinematica de colapso)
We previously determinate sections in which we consider posible the appearance of ruptures (rótulas)
Ecuaciones
EQUilibrio
We don't know F that leads to colapse, neither the tensions f, si we pre-establish a load vector F(I) and a load factor that corresponds to the equilibrium condition.
COMpatibilidad
u= velocidades de deformación
U= velocidades de movimiento
Constitución del MATerial
Definen la superficie límite de rotura. ψ establece las condiciones de interacción entre las varias capacidades resistentes. Por ejemplo, puede ser una mezcla de momento y de normal (si hay más de un término no nulo en la fila) y solo normal (si hay solo un término no nulo en la fila). Los valores de la matrice ψ son módulos unitarios (1, 0, -1) y son las componentes del versor perpendicular al plano de rotura.
Regla de flujo
Las deformaciones en el proceso de rotura deben ser ortogonales a las variaciones de esfuerzos plásticos, es decir, deben ser perpendiculares a la superficie de rotura. La deformación es ortogonal a la superficie límite.
Versores de los hiperplanos que definen la superficie límite
Una lista de multiplicadores (vector columna) que tendrán valore positivo si el correspondiente hiperplano es activo.
los planos activos están asociados esta condición de colapso
Static approach (Estática de colapso )
Matrix S
Elastic solution
for internal forces
n
local degrees of freedom
N
Global degrees of freedom
N(funky)
rank of B
https://math.unice.fr/~walter/L1_Info/Cours_rang.pdf
Teorema cinemático
