ESPACIO VECTORIAL
es un conjunto no vacío (V) de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación.
AXIOMAS
deben ser válidos para todos los vectores (u), (v) y (w) en (V) y todos los escalares (\alpha ) y (\beta ) reales.
Llamamos (u\; + \;v) a la suma de vectores en (V), y (\alpha v) al producto de un número real (\alpha ) por un vector (v\; \in \;V).
Propiedades de los espacios vectoriales
Propiedad 1
[0\;u = {0_V}]
Propiedad 2
[\alpha \;{0_V} = {0_V}]
Propiedad 3
[\left( { – \alpha } \right)u = – \left( {\alpha u} \right)]
En particular, para (\alpha = 1) :(\left( { – 1} \right)u = – u)
Propiedad 4
[\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \;\;\alpha = 0\; \vee \;\;u = {0_V}]
Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:
Si (\alpha = 0) , se cumple la proposición.
Si (\alpha \ne 0) , podemos multiplicar por (\frac{1}{\alpha }) :
[\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \frac{1}{\alpha }\alpha \;u = \frac{1}{\alpha }\;{0_V} \Rightarrow u = {0_V}\;]
¡Demostrado!
subespacio vectorial y sus propiedades
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Combinación lineal. Independencia lineal.
COMBINACIÓN LINEAL
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Cuatro vectores que generan a M22
INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores.
En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.
Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.
En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en lacombinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene
Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.
- S genera a V.
- S es linealmente independiente
Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S.
Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.
Base
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
V = c1v1+ c2v2+…+ cnvnV = k1v1+ k2v2+…+ knvn
Restar 2-1
0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn
Unicidad representación de la base
Si S = {v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector en V puede escribirse de una y solo una forma como combinación lineal de vectores en S.
Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse sólo de una manera), se supone que u tiene otra representación u= b1v1 + b2v2+…+bnvn. Al restar la segunda representación de la primera se obtiene:
u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 +… + (cn-bn)vn = 0.
Dimensión
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:
Propiedades:
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Propiedades de los productos interiores:
- ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
- ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
- ‹u, cv› = c‹u, v›.
Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno
Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:
w1= v1 Entonces B´ es una base ortogonal de V.
Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.