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ESPACIO VECTORIAL - Coggle Diagram

- - - - En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
        
        La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
        
        Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
        
        V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
        
        V = k1v1+ k2v2+…+ knvn
        
        Restar 2-1
        
        0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn
    - - Si S = {v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector en V puede escribirse de una y solo una forma como combinación lineal de vectores en S.
      - Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse sólo de una manera), se supone que u tiene otra representación u= b1v1 + b2v2+…+bnvn. Al restar la segunda representación de la primera se obtiene:
        
        u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 +… + (cn-bn)vn = 0.
    - - Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
        
        La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
        
        La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
        
        La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
        
        Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
- - - - i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
        ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
- - - - Propiedad 1
        [0\;u = {0_V}]
      - Propiedad 2
        [\alpha \;{0_V} = {0_V}]
      - Propiedad 3
      - [\left( { – \alpha } \right)u = – \left( {\alpha u} \right)]
      - En particular, para (\alpha = 1) :(\left( { – 1} \right)u = – u)
      - Propiedad 4
      - [\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \;\;\alpha = 0\; \vee \;\;u = {0_V}]
      - Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:
      - Si (\alpha = 0) , se cumple la proposición.
      - Si (\alpha \ne 0) , podemos multiplicar por (\frac{1}{\alpha }) :
      - [\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \frac{1}{\alpha }\alpha \;u = \frac{1}{\alpha }\;{0_V} \Rightarrow u = {0_V}\;]
      - ¡Demostrado!
- - - - Propiedades:
        
        i. (v, v) ≥ 0
        
        ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
        
        iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
        
        iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
        
        v. (u, v) = (v, u)
        
        vi. (αu, v) = α(u, v)
        
        vii. (u, αv) = α(u, v)
    - - u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
        ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
      - Propiedades de los productos interiores:
        
        ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
        
        ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
        
        ‹u, cv› = c‹u, v›.