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Tema 4 - Coggle Diagram
Tema 4
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
6) exista el elemento neutro:
7) tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:
8) tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa:
2) tenga la propiedad asociativa:
3) exista el elemento neutro:
y tenga la operación producto por un escalar:
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Sea V un espacio vectorial sobre K y U C V no vacío U es un subespacio vectorial de V si:
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Dependencia e Independencia lineal
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:
c1v1+c2v2+…+ckvk=0
Base y dimensión de un espacio vectorial
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
V = k1v1+ k2v2+…+ knvn
Restar 2-1
0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn
Dimensión
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
