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Espacios Vectoriales
DEFINICIÓN
Significa
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Axiomas de un espacio vectorial
5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x) =0.
7- Si X y Y están en V y a es un escalar, entonces a(x+y) = ax + ay
3-Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (a) x.
1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
Definición
Un subespacio vectorial es un conjunto no vacío de V objetos, llamados vectores, en
el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a (reglas). Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un
subespacio
de V.
Teorema de subespacio
Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se
cumplen las
dos reglas de cerradura:
Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
PROPIEDADES DE SUBESPACIO VECTORIAL
El vector cero de V está en H.2
H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE
Base
Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.
S genera a V.
S es linealmente independiente
Una base posee 2 características, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.
Ejemplo de la base es canónica
Si los vectores v 1 , v 2 ,…, v n forman base para Rn . Si S= {v 1 , v 2 ,…, v n } es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
1.V = c 1 v 1 + c 2 v 2 +…+ c n v
2.V = k 1 v 1 + k 2 v 2 +…+ k n v n
Restar 2-1
0 = (c 1 - k 1 ) v 1 +(c 2 - k 2 ) v 2 + + (c n - k n ) v n
Dimensión
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita.
Ejemplo de la dimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2…, m y j=1, 2, n forman una base para Mmn.
Así, dimMmn=mn.
V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V= {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dimV.
BASE ORTONORMAL
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Pasos
Paso 1. Elección del primer vector unitario
Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyección de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.
Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
Paso 4. Continuación del proceso
Paso 5. Entonces es claro que es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
Proceso
Sea B = {v 1 , v 2 , . . ., v n } una base de un espacio V con producto interno
Sea B´= {w 1 , w 2 , . . ., w n } donde w i está dado por: w 1 = v
ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNOS Y SUS PROPIEDADES
Propiedades de los productos interiores
‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
‹u, cv› = c‹u, v›.
‹0, v› = ‹v, 0› = 0
Espacios con producto interior
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
Producto Interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real ‹u, v›
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par
de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:
Ejemplo
Producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x= (1+i, -3, 4-3i) y y= (2-i, -i, 2+i). entonces
COMBINACIÓN LINEAL
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Teoremas
Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es
linealmente independiente.
Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v 1 , v 2 }, donde v 1 ≠ 0, v 2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los
vectores es múltiplo escalar del otro.
Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
INDEPENDENCIA LINEAL
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Ejemplo
En R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Criterios de Independencia Lineal
Sean u 1 , u 2 , …, uk k vectores en R n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).
Si k=n Los vectores son linealmente independientes si A es invertible
Si k mayor que n Los vectores son linealmente dependientes.
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.
Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.
Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que
están en un mismo plano.
