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ESPACIO VECTORIAL. image - Coggle Diagram

- - - - Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
      - Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
      - PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL.
        
        1). El vector cero de V está en H.2
        
        H es cerrado bajo la suma de vectores.
        
        Esto es, para cada u y v en
        
        H, la suma u + v está en H.
        
        H es cerrado bajo la multiplicación por escalares.
        
        Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
- - - - donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.
      - Todo vector V = (a, b, c) en R3
        se puede expresar como
      - i = (1,0,0);
        
        j = (0,1,0);
        
        k =(0,0,1)
      - V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
        
        Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.
  - - - 1,- S genera a V.
        
        2.- S es linealmente independiente
    - - En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
        
        La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
        
        Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
        
        V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
        
        V = k1v1+ k2v2+…+ knvn
        
        Restar 2-1
        
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  - - - Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
        Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas
        
        PROPIEDADES
        
        1.- (v, v) ≥ 0
        
        2.- (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
        
        3.- (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
        
        4.- (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
        
        5.- (u, v) = (v, u)
        
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        ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR.
        
        u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
        
        ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
  - - - Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:
        
        w1= v1
        
        Entonces B´ es una base ortogonal de V.
        
        Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.