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Tema #4 Espacios vectoriales - Coggle Diagram
Tema #4
Espacios vectoriales
4.4 Base y dimension de un espacio vectorial, cambio de base.
Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V
Si:
S genera a V.
S es linealmente independiente
Base:
es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
4.1 Definicion de espacios vectoriales
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
propiedades fundamentales.
1.-La propiedad conmutativa
2.-La propiedad asociativa
3.-tiene elemento neutro 0
4.-tenga elemento opuesto
5.-tenga la propiedad asociativa
6.-distributiva por la izquierda
7.-distributiva por la derecha
estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Producto interno.
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Propiedades.
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
4.2 Definicion de subespacio vectorial y sus propiedades
satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V
Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
Propiedades
El vector cero de V está en H.2
H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
4.6 Base ortonormal, proceso de otornomalizacion de Gram-Schmidt
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
Proceso:
1.-Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno.
2.- Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por: w1= v1
3.- Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.
4.3 Combinacion llineal. Independencia lineal.
es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
α1v1+α2v2+…+αnvn
