ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar
Definición de subespacio vectorial
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1) El vector cero de V está en H.2
2) H es cerrado bajo la suma de vectores.Esto es,para cada u y v en
H, la suma u + v esta en H.
3) H es cerrado bajo la multiplicación por las escaleras.Esto es para cada u en H y cada escalar c, el vector cu esta en H.
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Base y dimensión de un espacio vectorial
Base
Dimensión
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
Espacio vectorial con producto interno
Producto Interno:
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Propiedades:
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i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Base ortonormal
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto internoSea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:
w1= v1
Entonces B´ es una base ortogonal de V.
Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.