TEMA 4 ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Que es un espacio vectorial:
Es un segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo, real o complejo, según sean los escalares (vector).
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes dos propiedades:
1.(Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera u y v elementos de W, se cumple que u+v está en W.
4.3 Combinación lineal. Independecia lineal.
Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente.
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
Definición:
Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o simplemente un subespacio de V, es un subconjunto no vacío W de V cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de V
2.(Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar c en F y vector v en W se cumple que cv está en W.
Una “base” para un espacio vectorial es a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas. La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
Llamamos dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que forman una base del espacio vectorial.
Una base es un conjunto B del espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
Cual es la base de un espacio vectorial:
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>. ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
Producto interno es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.Si los vec- tores que lo forman son ortogonales dos a dos: ¯ui · ¯uj = 0 para cualesquiera i = j, i, j ∈ {1,...,n}. para cualesquiera i, j ∈ {1,...,n}. Proposición 2.3 Un sistema ortogonal que no contenga al vector ¯0 es un sistema libre
QUE ES UNA BASE ORTONORMAL: Una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Cómo saber si tres vectores forman una base ortonormal?
Bases de tres vectores:
1.Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
2.Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo.
3.Esta base formada por los vectores , y se denomina base canónica.