ESPACIOS VECTORIALES
Es una estructura algebraica de un conjunto no vacío, a partir de una operación interna (llamada suma,) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto.
Al estudiar los vectores, se identifican las diferentes operaciones ,suma vectorial y multiplicación por escalar y algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa, conmutativa y otras.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
CERRADURA MILTIPLICATIVA
Distributividad respecto a un escalar
(a+b)u=au+b*u
Distributividad respecto a un vector
(a(u+v)=au+a*v
Asociatividad multiplicativa:
a(bu)=(ab)u
Elemento neutro multiplicativo = 1
CERRADURA APLICATIVA
Conmutatividad: u+v =v*u
Asociatividad: u + (v+w)=(u+v)+w
Neutro aditivo = cero
Existencia de elementos inversos
Dependencia e
Independencia Lineal
DEPENDENCIA
INDEPENDENCIA
Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial.
Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.
Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0
Combinaciones Lineales
Los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial dado
Espacio Vectorial Trivial
Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.
NOTACION
Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K se distinguen
Los elementos de K como: a,b,c, se llaman escalares
Los elementos de V se
llaman vectores (u, v, w)