Funkcije

• Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x ∈ D pridružuje točno jedan element y ∈ K zovemo funkcija ili preslikavanje sa D u K i pišemo:
f : D → K ili x → f(x), x ∈ D

• Skup D zovemo domena ili područje definicije D(f), a skup K kodomena ili područje vrijednosti funkcije K(f)

Svojstva funkcija:

Periodičnost

Ograničenost

Monotonost

Parnost-neparnost

• Kažemo da je funkcija f : D → R parna ako je
f(−x) = f(x) za svaki x ∈ D
• Funkcija f : D → R je neparna ako je
f(−x) = −f(x) za svaki x ∈ D

• Kažemo da je funkcija f : D → R monotono rastuća ako vrijedi (x1 < x2) ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Ako umjesto znaka ≤ stoji znak ≥, kažemo da je funkcija f monotono padajuća

• Kažemo da je funkcija f : D → R strogo rastuća ako vrijedi (x1 < x2) ⇒ f(x1) < f(x2). Ako umjesto znaka < stoji znak >, kažemo da je funkcija f strogo padajuća

• Kažemo da je funkcija f : R → R periodična ako postoji broj T ∈ R za koji vrijedi f(x) = f(x + T)

• Kažemo da je funkcija f : D → R

2) ograničena odozgo ako postoji broj M ∈ R f(x) ≤ M

3) ograničena ako je ograničena i odozdo i odozgo

1) ograničena odozdo ako postoji broj m ∈ R f(x) ≥ m

Surjekcija

Bijekcija

• Za svaki element iz kodomene postoji element u domeni

• Funkcija je injekcija i surjekcija

Injekcija

• Preslikava različite elemente domene u različite elemente kodomene

Vrste funkcija:

• Za x ∈ D jedinstveni pridruženi element y ∈ K označavamo s f(x) i zovemo slika elementa x ili vrijednost funkcije f u točki x

• Slika funkcije f: skup svih vrijednosti funkcije f

Trigonometrijske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Racionalne funkcije

Elementarne funkcije

Polinomi

Ciklometrijske funkcije

Iracionalne funkcije

• Dobivaju se pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija i konačnog broja komponiranja osnovnih elementarnih funkcija

18865-0-dijagram-jpg-1533199414685

• Konstantna funkcija (pravac paralelan s x-osi), linearna f (pravac), kvadratna f (parabola)

• Funkcija koju dobijemo kao kvocijent dva polinoma, n<m → prava funkcija, n≥m → neprava funkcija, n=0 → polinom

• Nastaju tako da uz operacije koje vode do racionalne funkcije dopustimo i korjenovanje

• Jedinična kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava je trigonometrijska kružnica (sin, cos, tg, ctg)

• Funkcije inverzne pripadajućim trigonometrijskim funkcijama

• Eksponencijalna f s bazom a je realna funkcija f : R → R zadana s f(x) = ax, gdje je a>0 i a≠1, a x bilo koji realan broj. Logaritamska f po bazi a realna je funkcija oblika f(x) = logax, gdje je a>0, a domena je skup pozitivnih realnih brojeva.