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Unidad 5 / Espacios Vectoriales - Coggle Diagram

- - - - Base Ortonormal
        
        • Es un espacio vectorial con producto interno; los elementos son mutuamente ortogonales y normales.
        • Decimos que {v1, . . . , vn} es una base ortonormal si es una base ortogonal y ||vi|| = 1 para i = 1, . . . , n.
      - Base Ortogonal
        
        Decimos que {v1, . . . , vn} es una base ortogonal si los vectores v1, . . . , vn son ortogonales entre si, es decir si Vi · Vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
- - - - Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.
  - - - • Se puede construir una base ortonormal dividiendo cada vector por su norma.
      - • Podemos elegir cual va a ser el primer vector de la nueva base ortogonal.
      - • V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares <V| Vj> = 0 (Producto punto).
      - • Si además cada elemento de la base tiene de norma =1, la base se llama ortonormal.
      - • Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1.
- - - - Una función f: V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
        
        Propiedades
        
        1. F(u+v) = F(u) + F(v) ∀u, v∈V
        
        2. F(k.v) = k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
- - - - 1. <u, v> = <v,u>.
      - 2. α <u, v> = <(αu), v> = <u,(α v)>.
      - 3. <u + v, w> = <u, w> + <v, w>.
      - 4. <u,u> ≥ 0 y <u,u> = 0 si y sólo si u = 0
    - - u•v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
        
        <u, v> = producto interno general para espacio vectorial V.
      - Propiedades
        
        1. <0, v> = <v, 0> = 0
        
        2. <u + v, w> = <u, w> + <v, w>
        
        3. <u, cv> = c<u, v>
- - - - Llamado producto de v y w.
        
        Una operación denotada con + que a cada par de vectores v,w en V asocia un vector v+w, también en V.
      - Llamado producto r y v.
        
        Una operación llamada multiplicaicón escalar, que cada número real r y vector v en V le asocia un vector rv en V.
      - La suma sea conmutativa
        
        v+w = w + v
      - Exista un vector cero 0 en V tal que u + 0 = para todo u en V.
        
        El vector 0 se llama idéntico aditivo.
      - Para cada vector v en V hay un inverso aditivo v en V tal que v + (-v) = 0
        
        r(v+w) = rv + rw
        
        |v = v para todo v en V
        
        (r+s)v = rv + sv
        
        (rs)v = r(sv)