Unidad 5 / Espacios Vectoriales
2. Bases
6. Aplicaciones de espacios vectoriales
• Decimos que una base es un conjunto de vectores linealmente independientes.
• Son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio.
• Todo espacio vectorial tiene, al menos una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única.
• Tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.
Tipos de bases
Base Ortonormal
Base Ortogonal
• Es un espacio vectorial con producto interno; los elementos son mutuamente ortogonales y normales.
• Decimos que {v1, . . . , vn} es una base ortonormal si es una base ortogonal y ||vi|| = 1 para i = 1, . . . , n.
Decimos que {v1, . . . , vn} es una base ortogonal si los vectores v1, . . . , vn son ortogonales entre si, es decir si Vi · Vj = 0 para 1 ≤ i 6= j ≤ n.
•Es un conjunto constituido por un número infinito de vectores.
•En él están definidas dos operaciones: Adición y Multiplicación. Sujeta a 10 axiomas (o reglas).
3. Orto-normales y Método de Gram Schmidt
Método de Gram Schmidt
Orto-normales
Nos proporciona un sistema para calcular una base ortogonal {ū1, . . . , ūn} a partir de una base cualquiera {ē1, . . . , ēn}.
5. Transformaciones Lineales
Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1.
• Se puede construir una base ortonormal dividiendo cada vector por su norma.
• Podemos elegir cual va a ser el primer vector de la nueva base ortogonal.
• V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares <V| Vj> = 0 (Producto punto).
• Si además cada elemento de la base tiene de norma =1, la base se llama ortonormal.
• Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1.
4. Espacios con Producto Interno
1. Construcción de espacios vectoriales
Un producto interno o escalar definido sobre V es una aplicación entre el conjunto de todos los pares de vectores (u, v) y R, cuyo resultado es un número real denotado por (u, v), que satisface las siguientes propiedades para todo u, v, w ∈ V y todo escalar α ∈ R:
Propiedades
1. <u, v> = <v,u>.
2. α <u, v> = <(αu), v> = <u,(α v)>.
3. <u + v, w> = <u, w> + <v, w>.
4. <u,u> ≥ 0 y <u,u> = 0 si y sólo si u = 0
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos.
u•v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
<u, v> = producto interno general para espacio vectorial V.
Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.
Propiedades
1. <0, v> = <v, 0> = 0
2. <u + v, w> = <u, w> + <v, w>
3. <u, cv> = c<u, v>
Son las funciones y tratan sobre K espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (con la operación y la acción) de estos espacios.
Sean (V, +V, •V) y (W, +W, •W) dos K spacios vectoriales.
Una función f: V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
Propiedades
1. F(u+v) = F(u) + F(v) ∀u, v∈V
2. F(k.v) = k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
Ingeniería Civil
Ingeniería de Sistemas
En el diseño estructural de edificios en donde cada nodo de la estructura es un valor en la matriz que así puede ser de nxn.
En la planeación, en donde cada variable se coloca en un elemento de la matriz
Creación de Video juegos.
Otros
Transporte aéreo.
Películas animadas.
Un conjunto de v objetivos; Estos objetos reciben el nombre de vectores, en casos específicos pueden tratarse de matrices o funciones.
Las operaciones deben definirse de tal manera que:
Llamado producto de v y w.
Llamado producto r y v.
Una operación denotada con + que a cada par de vectores v,w en V asocia un vector v+w, también en V.
Una operación llamada multiplicaicón escalar, que cada número real r y vector v en V le asocia un vector rv en V.
La suma sea conmutativa
v+w = w + v
Exista un vector cero 0 en V tal que u + 0 = para todo u en V.
El vector 0 se llama idéntico aditivo.
Para cada vector v en V hay un inverso aditivo v en V tal que v + (-v) = 0
r(v+w) = rv + rw
|v = v para todo v en V
(r+s)v = rv + sv
(rs)v = r(sv)