Função composta
Definição de função composta
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, a função composta de g com f é a função h(x) = g(f(x)), que também pode ser representada como gof(x) – que é lida como “g bola f de x”.
Para utilizar a função h, podemos aplicar a função f no ponto x, descobrir qual é o valor do contradomínio relacionado a ele e aplicar a função g sobre esse valor. Fazendo isso, obteremos um ponto do contradomínio de g cujos pontos de seu domínio também pertençam ao contradomínio da f.
Sendo assim, a função h, seu domínio e contradomínio ficam definidos como:
h: A → C
Isso porque, pelo fato de ser igual à composta de g com f, a função h relaciona cada elemento do domínio da função f com um único elemento do contradomínio da função g.
Diagrama
O diagrama a seguir mostra o comportamento das funções f, g e h. Nesse diagrama, observe que a função f, representada pela primeira flecha, relaciona elementos do conjunto A a elementos do conjunto B:
A segunda flecha representa a função g, que relaciona elementos do conjunto B a elementos do conjunto C. Para relacionar elementos do conjunto A a elementos do conjunto B, existem dois caminhos: utilizar as duas funções uma a uma ou construir a função composta gof, que, como mostra o diagrama, relaciona diretamente elementos do conjunto A a elementos do conjunto C.
Funções compostas na prática
Na prática, construir a função composta é um processo simples. Para construir a composta gof, por exemplo, deveremos substituir a variável da função g por toda a função f.
Exemplo: dadas as funções f(x) = 2x3 e g(x) = 2x + 3x2, todas com domínio e contradomínio igual ao conjunto dos números reais, teremos:
gof(x) = 2(2x3) + 3(2x3)2
gof(x) = 4x3 + 3·4x6
gof(x) = 4x3 + 12x6
fog(x) = 2(2x + 3x2)3
Função Inversa
A função inversa é um tipo de função bijetora (sobrejetora e injetora). Isso porque os elementos de uma função A possui um elemento correspondente de uma função B.
Sendo assim, é possível trocar os conjuntos e associar cada elemento de B com os de A.
A função inversa é representada por: f -1
Exemplo:
Logo,
A função inversa f -1 é dada pela lei:
y = 2x – 1
y +1 = 2x
x = y + 1/2