METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES
REDUCCION
IGUALACION
SUSTITUCION
REGLA DE CRAMER
Este método consiste en aislar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. Una vez resuelta esta última, se resuelve la otra ecuación sustituyendo la incógnita por este valor.
Este método consiste en aislar la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualar los resultados obtenidos. Una vez resuelta esta última ecuación, puede sustituirse el valor de la incógnita en una de las ecuaciones iniciales y resolver la ecuación resultante para encontrar el otro valor.
Este método consiste en multiplicar convenientemente ambas ecuaciones de forma que, una vez restadas, desaparezca una de las incógnitas y se pueda resolver la ecuación resultante. Una vez resuelta esta última ecuación, puede sustituirse el valor de la incógnita en una de las ecuaciones iniciales y resolver la ecuación resultante para encontrar el otro valor.
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). 12
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa
Si multiplico la primera ecuación miembro a miembro (ambos lados de la igualdad) por -5 y la segunda por 3, tenemos que
-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15
Si ahora sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, tendremos que:
15·x - 9·y = 15
0·x - 19·y = -5
-15·x - 10·y = -20
click to edit
Por lo que, despejando "y", tendremos que y = 5/19
Ejemplo:
5·x - 3·y = 5
3·x + 2·y = 4
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y = 1 ; x - y = 3
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas ecuaciones, la misma variable. Así que, en principio, fijemos la variable a despejar. ¿Por ejemplo "x”?, si despejamos de ambas ecuaciones la variable "x", tendremos que x=1-y ; x=3+y
De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones deberán ser iguales entre sí. Esto es, 1-y=3+y
con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que 1-3=y+y por tanto -2=2·y y de aquí que y=-1.
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y = 1 ; x - y = 3
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos a fijar qué variable queremos despejar.
En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla y los cálculos serían más tediosos. Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la variable "y". Así, por tanto, tendremos que y=1-x
y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que x-(1-x)=3, haciendo cálculos, x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos que, -1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad 2·x=3+1, luego 2·x=4, y de aquí que x=2.
Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y obtenemos el valor de la otra variable.
Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que 2 + y = 1, despejando y=1-2=-1 Por tanto la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,-1).
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones
Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.
click to edit
2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.