Si x1, x2, · · · , xr son las ra´ıces de q(x) con multiplicidades n1, n2, · · · , nr,
respectivamente, entonces q(x) se descompone en la forma

Las fracciones parciales es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden resolver por los otros métodos (formula directa, por partes, cambio de variable, etc.)

Descomposicion de una fraccion algebraica en fracciones simples
El primer paso para descomponer la fracción p(x)/q(x) en suma de fracciones
simples será obtener la descomposición factorial del polinomio q(x) para lo
cual será necesario hallar las raíces de la ecuación q(x) = 0.

siendo A el coeficiente líder del polinomio q(x). Además, si un polinomio de
coeficientes reales admite la raíz compleja z = α + β i, entonces también tiene
como raíz el numero complejo conjugado z = α − β i. Esto nos va a permitir agrupar los factores correspondientes a raíces
complejas y sus conjugadas para
obtener factores cuadraticos. Mas concretamente, si α + β i es una raíz compleja de q(x) = 0, de multiplicidad m, entonces α − β i también será una raíz

q(x) = A(x − x1)n1(x − x2)n2 •••(x − xr)nr,

Para calcular estos coeficientes se multiplican ambos miembros de la igualdad anterior por q(x). A continuacion pueden seguirse dos estrategias distintas:
•Desarrollar la expresion, agrupar e identificar los coeficientes de los terminos del mismo grado.

•Evaluar la igualdad resultante para valores adecuados de la variable x. (Por lo general esta tecnica resulta mas ventajosa que la anterior).
Una vez determinados los coeficientes que figuran en la descomposicion de p(x)/q(x) en suma de fracciones simples, la integral

se descompone en suma de integrales de los siguientes tipos:

a )

b)

c) resuelta anteriormente.

d) con k > 1.

Este tipo de integrales puede resolverse por reduccion, haciendo previamente el cambio de variable t = (x − α)/β. Sin embargo, debido a la dificultad que esta tecnica conlleva si k > 2, es aconsejable resolverlas aplicando el metodo de Hermite

[x − (α + β i)]m[x − (α − β i)]m = (x − α − β i)m(x − α + β i)m,
que pueden agruparse de la forma:
[(x − α − β i)(x − α + β i)]m = [(x − α)2 + β2]m.

De acuerdo con lo anterior, en la descomposicion factorial de p(x) pueden
aparecer factores del tipo
a) (x − a), correspondiente a una raíz real simple

b) (x − a)m, correspondiente a una raíz real múltiple (de multiplicidad m)

c)(x − α)2 + β2, factor cuadrático correspondiente a una raíz real simple α + β i y su conjugada α − β i.

d) [(x − α)2 + β2]m, factor cuadrático múltiple correspondiente a una raız compleja múltiple, α + β i y su conjugada α − β i (de multiplicidad m)

La descomposición en fracciones elementales de p(x)/q(x) se hará de la siguiente manera:
a) Por cada factor del tipo (x − a), correspondiente a una raíz real simple, escribiremos una fracción del tipo

b) Por cada factor del tipo (x − a)m, correspondiente a una raız real de
multiplicad m, escribiremos m fracciones del tipo

c)Por cada factor cuadrático del tipo (x − α)2 + β2, correspondiente a una raız compleja simple y su conjugada, escribimos una fracción del tipo

d)Por cada factor del tipo [(x − α)2 + β2]m, correspondiente a una raíz compleja y su conjugada de multiplicidad m, escribimos m fracciones del tipo

Por ejemplo, supongamos que la ecuación q(x) = 0 tiene la raíz real simple x = a, la raíz real x = b con grado de multiplicidad m y la raíz compleja x = α ± β i con orden de multiplicidad n. Entonces q(x) se descompone en la forma q(x) = A(x − a)(x − b)m[(x − α)2 + β2]n.

siendo A el coeficiente del termino de mayor grado de q(x). En este caso, el desarrollo en fracciones simples de r(x)/q(x) vendrá dado por