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Sistemi di equazioni lineari sono polinomi in K di grado al più 1., . -…
Sistemi di equazioni lineari
sono polinomi in K di grado al più 1.
sistema OMOGENEO
sempre almeno la soluzione Nulla
L’insieme delle soluzioni del sistema di equazioni
lineari omogeneo A · X = 0m è il nucleo dell’applicazione lineare fA.
Se S è l’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari compatibile A·X = B, ed S0 è l’insieme delle soluzioni
di quello omogeneo associato A · X = 0, si ha l’uguaglianza
S = X + S0,
dove X è un qualsiasi elemento di S.
Una soluzione generica di un sistema di equazioni lineari compatibile è data da una soluzione particolare del sistema più una soluzione generica del sistema omogeneo associato.
la quantità di soluzioni di un sistema
di equazioni lineari A · X = B può essere solo una delle seguenti
non è compatibile, esso ha zero
soluzioni.
COMPATIBILE
Teorema di Rouché-Capelli
Un sistema di equazioni lineari A ·X = B è compatibile, se e solo se la matrice incompleta e la matrice
completa hanno lo stesso rango, ossia
rank(A) = rank (a|B)
Teorema
MATRICE QUADRATEUn sistema di equazioni lineari A · X = B con n equaioni ed n incognite ha una e una sola soluzione, se e solo se det(A) diverso da 0
è INVERTIBILE
ha una sola soluzione
Regola di Cramer
Sia A·X = B un sistema di n equazioni lineari ed n incognite con det(A) diverso 0. Allora, la soluzione trovata con il metodo di Cramer è l’unica soluzione del sistema.
compatibile, le soluzioni sono
parametrizzate da k = n −rank(A) parametri appartenenti al campo K, quindi il sistema di equazioni lineari ha una o infinite che indichiamo con ∞k per ricordare che esse sono parametrizzate
da k parametri Per coerenza, ∞0= 1.
matrice completa.
vettore delle incognite.
vettore dei termini noti o colonna dei termini noti
matrice dei coefficienti o matrice incompleta
.