continuación análisis del fenómeno
Asignación de valores de probabilidad a eventos
Mediante modelos matemáticos
Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos. Algunos de estos
Asignación clásica
Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).
AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
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En esta sección se introduce la formalidad matemática necesaria para fundamentar la Teoría de la Probabilidad de Eventos.
Sea S: Espacio muestral
E: Evento de S
P(E): Probabilidad del evento E
ℜ: Conjunto de los reales
Sea P una función que asocia a cada evento E de S un número real:
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS
Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los eventos de un espacio muestral S.
Demostraciones basadas en axiomas de probabilidad
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Probabilidad de un Evento Nulo: P(∅) = 0
Demostración: S = S∪∅ eventos excluyentes
⇒ P(S) = P(S) + P(∅) por el Axioma 3
⇒ 1 = 1 + P(∅) por el Axioma 2
⇒ P(∅) = 0
b) Probabilidad del Evento Complemento: P(Ec) = 1 – P(E)
Demostración: S = E∪Ec eventos excluyentes
⇒ P(S) = P(E) + P(Ec) por el Axioma 3
⇒ 1 = P(E) + P(Ec) por el Axioma 2
⇒ P(Ec) = 1 – P(E)
c) Probabilidad de Eventos Incluidos: Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)
Demostración: Sean A, B eventos de S
Si A está incluido en B se puede escribir
B = A ∪ (AC ∩ B) eventos excluyentes
P(B) = P(A) + P(AC ∩ B) por el Axioma 3
P(B) ≥ P(A) por el Axioma 1
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d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1
Demostración Sea E un evento cualquiera de S, entonces ∅⊂ E ⊂ S
P(∅) ≤ P(E) ≤ P(S) por la Propiedad 3
0 ≤ P(E) ≤ 1 por la Propiedad 1 y Axioma 2
e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:
P(A – B) = P(A) – P(A∩B) = P(A∩Bc)
Demostración: A = (A – B)∪(A∩B) eventos excluyentes
⇒ P(A) = P(A – B) + P(A∩B) por el Axioma 3
⇒ P(A – B) = P(A) –- P(A∩B) = P(A∩Bc)
f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Demostración: A∪B = (A – B)∪(A∩B)∪(B – A) eventos excluyentes
⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) por el Axioma 3
⇒ P(A∪B) = P(A – B) + P(A∩B) + P(B – A) + P(A∩B) – P(A∩B
⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) con la Propiedad 5
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada al valor de probabilidad de otro evento. Introducimos este concepto con un ejemplo:
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Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una vez un dado y una moneda. Calcule la probabilidad de obtener como resultados el número 5 y sello
Sean c, s los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral S es:
S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}
Sea el evento de interés,
A: obtener como resultados el número 5 y sello
A = {(5, s)}
El evento A contiene un punto muestral. Entonces la probabilidad del evento A es 1 entre 12:
P(A) = 1/12 ≅ 0.0833
Suponga ahora que luego de lanzar el dado y la moneda, nos informan que el número del dado fue impar. ¿Cual es la probabilidad del evento A dado el evento indicado?
Sea B este evento conocido: B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}
Entonces, la probabilidad del evento A dado
EVENTOS INDEPENDIENTES
Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son independientes si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A
Lo anterior es equivalente a la siguiente definición:
Definición: Eventos Independientes
A y B son eventos independientes si P(A∩B) = P(A) P(B)
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Demostración:
De la definición de probabilidad condicional,
P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B)≠0
Si A y B son independientes: P(A|B) = P(A).
Si se sustituye en la fórmula de probabilidad condicional:
P(A) = P(A∩B)/P(B)
Se obtiene el la fórmula en la definición
REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD
Sean A, B eventos no nulos cualquiera de S, entonces
Definición: Regla Multiplicativa de la Probabilidad
P(A∩B) = P(A) P(B|A)
Esta fórmula se la obtiene directamente despejando P(A∩B) de la fórmula de Probabilidad Condicional