Análisis del fenómeno
FÓRMULAS DE CONTEO
En esta sección revisamos algunas fórmulas básicas para conteo de los elementos de grupos.
Definición: Principio Básico del Conteo
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Si un grupo tiene m elementos y otro grupo tiene n elementos, entonces existen mxn
formas diferentes de tomar un elemento del primer grupo y otro elemento del segundo
grupo.
PERMUTACIONES
Definición: Número de permutaciones
Número de permutaciones con n elementos diferentes de un conjunto
del cual se toman arreglos conteniendo r elementos
nPr = n(n-1)(n-2). . .(n-r+1)
PERMUTACIONES CON TODOS LOS ELEMENTOS
Definición: Permutaciones con todos los elementos de un conjunto
nPn !n!0!n)!nn(!n==−=, n es la cantidad de elementos del conjunto
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, n1 fuesen repetidos, entonces los arreglos tendrían formas idénticas cuando se considera el orden de los n1 elementos repetidos. Existen n1! formas de tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto, la cantidad de permutaciones se reduciría por el factor n1!
COMBINACIONES
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Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
Cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que contiene, sin importar su ubicación
Sean n: Cantidad de elementos del conjunto
r: Cantidad de elementos en cada arreglo
Se usa la notación nCr, o nrC, o
rn para denotar la cantidad de combinaciones de tamaño r que se pueden realizar con los n elementos distintos de un conjunto
Para obtener la fórmula del número de combinaciones, consideremos la fórmula de las permutaciones.
Debido a que en las combinaciones no interesa el orden de los elementos en cada arreglo,
ESPACIO MUESTRAL
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El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral.
Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.
S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.
S es continuo si los resultados corresponden
σ-ALGEBRA
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El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra (sigma álgebra).
σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que
1) S ∈ A
2) Si A ∈ A, entonces AC∈ A
3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces ∈∞= AUi1i A
En resumen una σ-Algebra A incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
Asignación de valores de probabilidad a eventos
Empírica
Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de intentos realizados.
Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatro ensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayo se obtenga el resultado esperado tiene un valor aproximadamente: 4/20 = 0.2 = 20%