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DIFERENTES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS - Coggle Diagram
DIFERENTES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Representación Alternativa para Relaciones.
Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Alternativamente al diagrama de flechas del conjunto hacia si mismo:
Ejemplo
Si A = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el diagrama de flechas de las relación.
Relación Reflexiva
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es reflexiva si :
∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).
Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a, a) donde a barre todos los elementos de A.
Ejemplos
CADA NODO DEBE TENER UN CIRCULO
CADA NODO DEBE TENER UN CIRCULO
Sea A = {1, 3, 5}
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Relación Simétrica
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si
∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).
Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice que en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas.
Ejemplos
Sea A = {3, 4, 2}
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.
Relación Antisimétrica
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es antisimétrica si
∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y).
Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la relación, es porque las parejas son (x, x).
Ejemplos
Sea A = {2, 4, 6} entonces
R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.
S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A
Relación Transitiva
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es transitiva si
∀x, y, z, ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R).
Ejemplos
Sea = A = {2, 4, 6, 3} entonces
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.
Relación de Equivalencia
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplos
Relación de Orden Parcial
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que R es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejemplos
Cerradura Transitiva de una Relación
Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R′que cumple:
■ R′ es transitiva,
■ R ⊆ R′ (R′ contiene a R), y
■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R′.
Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña relación transitiva que contiene a R.
Ejemplos
Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada para revisar si ya es transitiva.
Partición de un Conjunto
Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1, A2,. . . ,Am tal que
■ Ningún subconjunto Ai es vacío: ∀i, Ai , Dif ∅
■ Los conjuntos no tienen elemento en común: ∀i, j, (i Dif, j → Ai ∩ Aj = ∅)
■ La unión de los conjuntos es igual a A: A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = A
Fuentes
https://aprendeenlinea.udea.edu.co/boa/contenidos.php/8b077438024e1bddfbc83706da8049f2/138/1/contenido/contenido/relaciones.html
Matemáticas Discretas TC1003. Relaciones entre Conjuntos: Propiedades. Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM (PDF)
