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DIMOSTRAZIONI DELLE LEGGI RELATIVE AGLI SPECCHI paragrafo 6, I triangoli…
DIMOSTRAZIONI DELLE LEGGI RELATIVE
AGLI SPECCHI
paragrafo 6
Legge dei punti coniugati:
dimostrazione:
Poniamo:
AP = p
AQ = q
AF = f
Nella dimostrazione supponiamo che in prima approssimazione la superficie concava possa essere approssimata ad una superficie piana.
L'ingrandimento è dato da: G= QC / SP ossia rapporto tra le dimensioni dell'immagine e quelle dell'oggetto originale.
I triangoli AHF, FQC sono simili (tre angoli uguali) e quindi hanno i lati in proporzione.
Allora G = QC / AH (essendo AH = SP)
Allora G = AB / FP (essendo AB = QC) e per la similitudine QC/AH=q-f/f I triangoli SPF , AFB sono simili (tre angoli uguali) e quindi hanno i lati in proporzione.
Allora G = AB / FP (essendo AB = QC) e per la similitudine AB/FP=f/p-f
E quindi eguagliando gli ingrandimenti f/p-f=q-f/f
Svolgendo i calcoli si ottiene:
f2 = pq - fq - fp + f2 =>pq = fq + fp
Dividendo ogni termine per fpq si ottiene: 1/f=1/p+1/q
Formula per l'ingrandimento
dimostrazione:
■ I due triangoli CAB e CA’B’ sono simili perché hanno entrambi un angolo retto
inoltre, gli angoli ACB e A'CB' sono uguali perché opposti al vertice. Quindi possiamo scrivere la proporzione A'B'/AB=CA'/AC
il membro di destra della stessa equazione, cioè il rapporto CA AC ' , è uguale a
A V AV ' , cioè a q/p.
■ Abbiamo quindi ottenuto la relazione G=q/p
■ Il membro di sinistra della (9) è ciò che abbiamo chiamato G; per la formula (7);
I triangoli SPF , AFB sono simili (tre angoli uguali) e quindi hanno i lati in proporzione.
