Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
ELS NOMBRES REALS I ELS MÈTODES D'APROXIMACIÓ - Coggle Diagram
ELS NOMBRES REALS I ELS MÈTODES D'APROXIMACIÓ
Nombres reals
Els nombres reals comprenen tots els nombres coneguts.
El conjunt dels nombres reals està format pels nombres
racionals i irracionals. Se simbolitza amb la lletra
R
Un nombre real pot ser un nombre racional o un nombre irracional.
Classificació del nombres reals
Els nombres reals es classifiquen en racionals i irracionals.
Els nombres racionals comprenen els nombres enters i els nombres naturals
Tots els nombres naturals són nombres enters. Al seu torn, tots els nombres enters són nombres racionals. D'altra banda, també hi ha nombres irracionals.
Valor absolut dels nombres reals
La distància entre un nombre real i el 0 és el valor absolut d'aquest nombre.
El valor absolut d'un nombre real és el que s'obté en eliminar el signe. S'escriu entre dues barres verticals. |+a| = a |-a| = a
Per exemple, tenim dos valors de temperatura (-2,3 y +1,7) que podem representar en una recta numèrica. El valor absolut de cadascun d'aquests nombres és:
Valor absolut de -2,3 → |-2,3| = 2,3 Valor absolut de +1,7 → |+1,7| = 1,7
Intervals
Quan ens referim al conjunt de nombres que es troben entre dos valors, parlem d'un interval
Un interval d'extrems a i b és el conjunt de nombres reals
compresos entre a i b. Pot contenir els dos extrems, un o cap.
Classificació dels intervals
Classifiquem els intervals segons si inclouen o no els extrems dels intervals.
·Si un extrem no pertany a l'interval, escrivim un parèntesi i
dibuixem un punt buit (blanc).
·Si un extrem pertany a l'interval, escrivim un claudàtor i dibuixem
un punt acolorit per dins.
Hi ha alguns casos particulars d'intervals oberts i intervals oberts per un extrem i tancats per l'altre.
Unió d'intervals
La unió d'intervals es representa amb el símbol ∪.
Per exemple, si considerem dos intervals, un entre els anys 1918 i 1928 i un altre entre els anys 1932 i 1937:
Interval 1 → [1918, 1928]
Interval 2 → [1932, 1937]
Unió dels intervals → [1918, 1928] ∪ [1932, 1937]
Aproximació dels nombres reals
Aproximacions per defecte i per excés
En algunes situacions, els nombres reals tenen més xifres decimals de les que necessitem. En aquests casos podem treballar amb aproximacions.
Truncament i arrodoniment
Els principals mètodes d'aproximació de nombres reals són el truncament i l'arrodoniment.
Per truncar un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre i eliminem les xifres d'ordres inferiors.
El truncament sempre ens dona una aproximació per defecte.
Per arrodonir un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre tenint en compte que:
Si la primera xifra que eliminem és més petita que 5, deixem la xifra anterior igual.
Si la primera xifra que eliminem és igual o més gran que 5, sumem 1 a la xifra anterior.
Error absolut i error relatiu
Error absolut
Exemple: en un laboratori han mesurat la longitud de molts ribosomes. La longitud mitjana és de 27 nm i la longitud de l'últim mesurament ha estat de 29,45 nm. Quin error absolut s'ha comès?
Error absolut → |27 – 29,45| = 2,45 nm
L'error absolut ha estat de 2,45 nm.
Error relatiu
Considerem l'error absolut que hem calculat abans per determinar l'error relatiu. En aquest cas, el nombre exacte és el valor de la mitjana: 27 nm.
Error relatiu → 2,45/I27I· 100 = 9,07 %
Cota d'error
La cota d'error és un valor que podem assegurar que serà més gran o igual que l'error.
Cota d'error absolut ≥ Ea
Cota d'error relatiu ≥ Er
Xifres significatives
Les xifres significatives d'un nombre real són les que ens aporten informació.
Representació, ordenació i comparació dels nombres reals
Recta real
La recta real està completa. Cada punt de la recta representa un nombre real i cada nombre real es troba en una posició de la recta.
Si representéssim en una mateixa recta tots els nombres racionals i irracionals, veuríem que no hi queden espais buits.
Representació dels nombres reals
Abans de representar un nombre real sobre la recta, comprovem si és racional o irracional.
Nombres racionals
Vegem com podem representar els nombres racionals en la recta real.
Ordenació i comparació dels nombres reals
Comparem i ordenem aquests tres nombres: 1/3 1,61803… i arrel cuadrada de 17.
Observant els nombres
Passem tots els nombres a decimals.
Comparem les parts enteres. Si són diferents, podrem ordenar els nombres; si no, comparem les dècimes, centèsimes, mil·lèsimes, etc.
Representant els nombres sobre la recta
Representem tots els nombres sobre una mateixa recta. De dreta a esquerra, els nombres queden ordenats de gran a petit.