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Equações Diferenciais - Coggle Diagram
Equações Diferenciais
Equações Diferenciais Ordinária de Segunda Ordem
Aula 11 e Aula 12
Para que sejam consideradas de segunda ordem, estas equações devem obedecer ao seguinte formato:
a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=r(x)
, onde, a, b, c e r são funções conhecidas,
dependentes apenas da variável x
.
1° Caso: Equação do tipo y"=f(x).
Solução é
obtida mediante duas integrações sucessivas.
Exemplo 1º Caso
2º caso: Equação do tipo y’’ = f(x, y’).
Solução é obtida substituindo y’ por p na equação dada a fim de transformá-la numa equação de primeira ordem.
Exemplo 2º Caso
Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e
Homogêneas
Aula 13
Apresentam a
expressão matemática:
onde a, b e c são constantes reais e y é a função incógnita.
Equação algébrica é chamada de equação característica ou equação auxiliar da equação diferencial dada. A solução da equação característica depende do tipo das suas raízes:
Raízes Reais Distintas:
com a hipótese de que a equação característica possui duas raízes reais distintas
m1 e m2, temos a seguinte solução
, onde c1 e c2 são números reais.
Raízes Complexas Conjugadas:
se m1 e m2 são complexas, então podemos escrever m1 = p − qi e m2 = p + qi, onde p e q são números reais e
chamado de unidade imaginária. A solução será
Raízes Reais Iguais:
quando m1 = m2, então a solução é da forma
,
onde c1 e c2 são números reais.
Equações de Cauchy-Euler
Aula 14
1 Caso - Raízes Reais Distintas
quando m1 = m2, então a solução é da forma
onde c1 e c2 são números reais.
2 Caso - Raízes Reais Iguais
se m1 e m2 são complexas, então podemos escrever m1 = p − qi e m2 = p + qi, onde p e q são números reais e
3 Caso - Raízes Complexas Conjuntas
com a hipótese de que a equação característica possui duas raízes reais distintas
m1 e m2, temos a seguinte solução
EDO2ordem_aplicacoes_Matlab
Equação Auxiliar
Transformada Laplace
Aula 15
Tabela Laplace
https://drive.google.com/file/d/1QISz0VnoVMkoxM5T12HNpR8NJuNEzxKs/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1f-_1Z6X8qDSZ4ROb-cZxBsaAxe8C4PkS/view?usp=sharing
3 Etapas
1 - Inicialmente a equação diferencial é transformada numa equação algébrica, mediante o cálculo da transformada de Laplace de cada um dos membros da equação diferencial
2 Em seguida, a equação algébrica é resolvida por meio de manipulações algébricas, obtendo-se uma solução da equação algébrica
3 - A solução da equação algébrica é transformada na solução procurada da equação diferencial utilizando-se a transformada inversa de Laplace.
https://www.wolframalpha.com/
laplace transform
laplace y''+9y=2/3sin3t, y(0)=0, y'(0)=0
pt.symbolab.com
laplace\:y'+2y=0;\:y\left(1\right)=1
Inversa Laplace
AULA 16
https://www.wolframalpha.com/
laplace inverse transform 2/(9 + s^2)^2
pt.symbolab.com
inversa\:de\:laplace\:\frac{s}{s^2+4s+5}
SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Aula 17
Exemplos
b) laplace\:y'+2y=2;\:y\left(0\right)=1
c) laplace\:y'+2y=e^x;\:y\left(0\right)=1
d) laplace\:y'+2y=0;\:y\left(1\right)=1
e) laplace\:y'+5y=0;\:y\left(1\right)=0
f) laplace\:y''-y=0;\:y\left(0\right)=1,\:y'\left(0\right)=1
g) laplace\:y''-y=senx;\:y\left(0\right)=0,\:y'\left(0\right)=1
a) laplace\:y'+2y=0;\:y\left(0\right)=1
https://drive.google.com/file/d/1tCl2a2EgKDUKLBbcWi6zR3Qrll6eaoEn/view?usp=sharing
Léo Graf
Dalvana Klipel
Nathanael Giacomin
