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Ecuaciones Cuadráticas II - Coggle Diagram
Ecuaciones Cuadráticas II
Modelado de Situaciones Mediante Ecuaciones ax2+bx=0
Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado se caracterizan por poseer una variable elevada a la potencia dos (como en a x al cuadrado espacio igual espacio 9).
Sin embargo, también hay ecuaciones de segundo grado que, además de una variable elevada al cuadrado, tienen una variable elevada a la potencia uno, así que tienen la siguiente forma, conocida como forma incompleta de las ecuaciones cuadráticas:
Los coeficientes a y b son números cualesquiera, pueden ser positivos o negativos, enteros, fraccionarios o decimales.
Diferentes problemas se pueden modelar con esta ecuación incompleta, entre ellos, algunos referentes a áreas de figuras geométricas.
Para entender mejor la situación, se elabora un modelo. En este triángulo la altura mide lo mismo que la base aumentada en dos unidades y su área es x^2.
Se toma la fórmula para calcular el área de un triángulo y se sustituyen los datos en ella.
Se efectúan operaciones con esta ecuación.
Esta expresión se puede comparar con la ecuación incompleta de segundo grado.
Resolución de Ecuaciones ax^2+bx=0
Algunas ecuaciones de segundo grado tienen la siguiente forma, también conocida como forma incompleta:
¿Cómo encontrarías los valores que satisfacen esta ecuación? Probablemente en lo primero que piensas al tratar de resolver una ecuación es en despejar o aplicar las operaciones inversas necesarias para así encontrar el valor de x, por ejemplo, en 2x2 = 18, se tiene que
, así que
Sin embargo, al analizar la ecuación cuadrática de la forma incompleta se advierte que no es posible emplear ese procedimiento, ya que la incógnita aparece dos veces, una elevada a la potencia dos y otra a la potencia uno. Una ecuación incompleta de la forma ax2 + bx = 0 se resuelve por factorización y tiene dos soluciones o raíces.
Hay varios métodos de factorización, en el caso de las ecuaciones de segundo grado que se pueden factorizar, el que se aplica es encontrar un factor común.
Paso 1
Se obtiene un MCD para las literales
Si es posible, se obtiene un MCD para los coeficientes
Por ejemplo, 15x^2 + 45x
El MCD de las literales es la letra o las letras que se repiten en todos los términos con el menor exponente, así que en este ejemplo es solo x.
El MCD de los coeficientes 15 y 45 es 15.
De este modo, el factor común del binomio 15x2 + 45x es 15x. Con él se puede factorizar la expresión al dividir cada término entre el factor común.
15x2 + 45x = 15x(x + 3)
Problemas con ecuaciones ax^2+bx=0
Algunos problemas se modelan con la ecuación incompleta de la forma ax2 + bx = 0. El primer paso para ello es identificar qué se pregunta, ya que esta es la incógnita de la ecuación.
Asimismo, es necesario emplear la fórmula para calcular el área de la figura en cuestión, por ejemplo:
Se tiene un trapecio rectángulo con estas dimensiones.
Datos del problema.
Base mayor: 2.2x
Base menor: 1.8x
Altura: x
Área: 8x
Fórmula
:
Área = (base mayor + base menor)(altura)/2
Osea
A = (B+b)(h)/2
*
*Se sustituyen los datos en la fórmula.
Base mayor: 2.2x
Base menor: 1.8x
Altura: x
Área: 8x
8x = (2.2x + 1.8x)(x)/2
Se efectúan operaciones y trasposición de términos.
16x = (4x)(x)
Se continúa el despeje de la ecuación y se obtiene el factor común.
16x = 4x^2
4x^2 - 16x = 0
Factor común: 4x
4x(x - 4) = 0
Ambos valores satisfacen la ecuación, pero si se considera el cero no existiría la figura, por tanto, se descarta ese valor.
Para x1
4(0^2) - 16(0) = 0
0 - 0 = 0
0 = 0
Para x2:
4(4^2) - 16(4) = 0
64 - 64 = 0
0 = 0
Con el 4 se obtienen las otras dimensiones del trapecio y se comprueba el resultado.
Altura: x = 4
Base mayor: 2.2x = 2.2(4) = 8.8
Base menor: 1.8x = 1.8(4) = 7.2
8(4) = (8.8 + 7.2)(4)/2
32 = (6)(4)/2
32 = 32
Los factores se igualan a cero por separado y se despeja x para obtener las raíces.
Primer factor:
4x = 0
x = 0/4
x1 = 0
Segundo factor:
x - 4 = 0
x2 = 4
Al resolver un problema geométrico que involucra un área, por lo general, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual puede ser incompleta.
La ecuación se factoriza.
Los factores se igualan a cero por separado.
Se obtienen las dos raíces, de las cuales una debe ser cero.
4x^-48x=0
Primero se determina el MCD de coeficientes y literales.
MCD coeficientes: 4
MCD literales: x
Con estos valores se construye el factor común o MCD del binomio.
Factor común: 4x
El binomio se divide entre el factor común para factorizarlo.
4x^2-48x=0
4x(x-12)=0
Ahora cada factor se iguala a cero por separado.
4x=0
x-12=0
Se despeja el primer factor y se obtiene la primera raíz.
4x=0
x=0/4
x1=0
Se despeja el segundo factor y se obtiene la segunda raíz.
x-12=0
x2=12
