Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
ELS NOMBRES REALS I ELS MÈTODES D'APROXIMACIÓ, image, image, image,…
ELS NOMBRES REALS I ELS MÈTODES D'APROXIMACIÓ
nombres reals
Classificació dels nombres reals
nombres racionals
està format pels
nombres que podem expressar en forma de fracció,
Conjunt dels nombres enters
Està format pels nombres positius, el zero i els nombres negatius. Se simbolitza amb la lletra z
Conjunt dels nombres naturals
Està format pels nombres que fem servir
per comptar. se simbolitza amb la lletra n
nombres irracionals
estan format pels nombres que no podem expressar una fracció de nombres enters.
Valor absolut dels nombres reals
El valor absolut d'un nombre real és el que s'obté en
eliminar el signe. S'escriu entre dues barres verticals.
Representació, ordenació i comparació dels nombres reals
Recta real
Si representéssim en una mateixa recta tots els nombres racionals i irracionals, veuríem que no hi queden espais buits.
La recta real està completa. Cada punt de la recta representa un nombre real i cada nombre real es troba en una posició de la recta.
Representació dels nombres reals
Abans de representar un nombre real sobre la recta, comprovem si és racional o irracional.
Nombres racionals
pas 1: escrivim el nombre q en forma de fracció,Si la fracció és impròpia, la passem a nombre mixt.
pas 2: dibuixem la recta numèrica.
pas 3: apliquem el teorema de Tales
usquem els dos nombres enters entre els quals es troba q, a i a+1
Tracem una semirecta amb origen a a i una inclinació qualsevol.
Comptem sobre la recta tants segments com indica el numerador de la fracció. Si q ≥ 0, comencem a comptar des de a. Si q < 0, comencem a comptar des de a + 1.
Marquem tants segments iguals com indica el denominador de la fracció.
Unim l'extrem de l'últim segment amb a + 1. Després tracem paral·leles que passin pels extrems dels segments que hem traçat i tallin la recta.
Nombres irracionals en general
Pas 1: decidim quedar-nos amb una quantitat determinada de xifres decimals.
Pas 2: dibuixem la recta numèrica.
Pas 3: localitzem els dos nombres enters més propers. A continuació, dividim aquest segment en 10 parts iguals. Fem això tantes vegades com xifres decimals tingui el nostre nombre
Nombres irracionals en forma d'arrel quadrada
Pas 1: escrivim el radicand com la suma de dos quadrats perfectes.
Pas 2: apliquem el teorema de Pitàgores.
Des de b, tracem un segment perpendicular a l'anterior, de longitud c.
Unim l'extrem d'aquest últim segment amb el 0. Haurem dibuixat un triangle rectangle
Des del 0, tracem un segment horitzontal sobre la recta, de longitud b.
Col·loquem la punta del compàs al 0 i l'obrim amb un radi igual a la hipotenusa del triangle. Tracem un arc que talli la recta.
Ordenació i comparació dels nombres reals
Observant els nombres
Passem tots els nombres a decimals Comparem les parts enteres. Si són diferents, podrem ordenar els nombres; si no, comparem les dècimes, centèsimes, mil·lèsimes, etc.
Representant els nombres sobre la recta
Representant els nombres sobre la recta, De dreta a esquerra, els nombres queden ordenats de gran a petit.
Intervals
Un interval d'extrems a i b és el conjunt de nombres reals
compresos entre a i b. Pot contenir els dos extrems, un o cap
Classificació dels intervals
classificació d'intervals
particulars d'intervals oberts i intervals oberts per un extrem i tancats per l'altre.
Unió d'intervals
La unió d'intervals es representa amb el símbol ∪
Per exemple, si considerem dos intervals, un entre els anys 1918 i 1928 i un altre entre els anys 1932 i 1937:
Aproximació dels nombres reals
Aproximacions per defecte i per excés
En algunes situacions, els nombres reals tenen més xifres decimals de les que necessitem. En aquests casos podem treballar amb aproximacions.
Si el valor que prenem del nombre és més petit que el seu valor real, fem una aproximació per defecte. En canvi, si el valor és més gran que el real, és una aproximació per excés. Vegem aquest exemple amb el nombre e:
Truncament i arrodoniment
Per truncar un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre i eliminem les xifres d'ordres inferiors.
Per arrodonir un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre tenint en compte que:
Si la primera xifra que eliminem és més petita que 5, deixem la xifra anterior igual.
Si la primera xifra que eliminem és igual o més gran que 5, sumem 1 a la xifra anterior.
Error absolut i error relatiu
Error absolut
L'error absolut Ea d'una aproximació és la diferència entre el nombre exacte i el nombre aproximat. Normalment es dona en valor absolut
Vegem l'exemple següent: en un laboratori han mesurat la longitud de molts ribosomes. La longitud mitjana és de 27 nm i la longitud de l'últim mesurament ha estat de 29,45 nm. Quin error absolut s'ha comès?
Error relatiu
L'error relatiu Er d'una aproximació és el quocient entre l'error absolut i el nombre exacte. Normalment es dona en percentatge.
Considerem l'error absolut que hem calculat abans per determinar l'error relatiu. En aquest cas, el nombre exacte és el valor de la mitjana: 27 nm.
Cota d'error
La cota d'error és un valor que podem assegurar que serà
més gran o igual que l'error.
Per exemple, la diagonal d'un portaobjectes del laboratori fa 2 x rel quadrada de 2 = 2,8284271… cm i l'aproximem a 2,83 cm. L'error absolut que cometem amb aquesta aproximació és un nombre irracional, ja que 2begin mathsize 12px style square root of 2 end style també ho és. Per tant, no podem conèixer el valor exacte de l'error:
Xifres significatives
Les xifres significatives d'un nombre real són les que ens aporten informació.
Les xifres diferents de 0 són significatives.
Els 0 entre dues xifres diferents de 0 són significatius.
Els 0 a la dreta d'una xifra diferent de 0 són significatius.
Els 0 a l'esquerra de la primera xifra diferent de 0 no són significatius.
