ELS NOMBRES REALS I ELS MÈTODES D'APROXIMACIÓ
ELS NOMBRES REALS
Que són?
Els nombres reals comprenen tots els nombres coneguts
El conjunt dels nombres reals està format pels nombres
Racionals
Irracionals
Es representa amb una R
Classificació
Nombres Racionals
Nombres Irracionals
El conjunt dels nombres racionals està format pels nombres que podem expressar en forma de fracció, per exemple, -54; -8; -2; 0; 3,01; 18; 96,99; 581; 1901
Se simbolitza amb la lletra Q
Conjunt
Nombres enters
Nombres naturals
Està format pels nombres positius, el zero i els nombres negatius
Es simbolitza amb la lletra z
Exemple: -54, -8, -2, 0. 18, 581...
Està format pels nombres que fem fervir per comptar
Se simbolitza amb la lletra n
Exemple: 18, 581, 2...
Tots són nombres enters
El conjunt dels nombres irracionals està format pels nombres que no podem expressar mitjançant una fracció de nombres enters.
Nombres que són irracionals:
Nombres especials (nombre pi, nombre d'or o auri...)
Altres nombres (1,1211211121112111…)
Arrels quadrades no exactes (arrel de 2 o de 3)
Valor absolut
La distància entre un nombre real i el 0 és el valor absolut d'aquest nombre.
click to edit
El valor absolut d'un nombre real és el que s'obté en eliminar el signe. S'escriu entre dues barres verticals.
|+a| = a
|-a| = a
Intervals
Quan ens referim al conjunt de nombres que es troben entre dos valors, parlem d'un interval.
Un interval d'extrems a i b és el conjunt de nombres reals compresos entre a i b. Pot contenir els dos extrems, un o cap.
Classificació
Es classifiquen segons si inclouen o no els extrems dels intervals
Si un extrem no pertany a l'interval, escrivim un parèntesi i dibuixem un punt buit (blanc).
Si un extrem pertany a l'interval, escrivim un claudàtor i dibuixem un punt acolorit per dins.
Tipus de classificacions
Interval tancat [a,b]
Interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta (a,b]
Interval obert (a,b)
Interval tancat per l'esquerra i obert per la dreta [a,b)
Tots els nombres més grans que a i més petits que b.
a < x < b
Els extrems inferior i superior no pertanyen a l'interval.
Tots els nombres més grans o iguales que a i més petits o iguals que b.
a ≤ x ≤ b
Els extrems inferior i superior pertanyen a l'interval.
Tots els nombres més grans que a i més petits o iguals que b.
a < x ≤ b
L'extrem inferior no pertany a l'interval, però el superior sí.
Tots els nombres més grans o iguals que a i més petits que b.
a ≤ x < b
click to edit
Casos particulars
Semirecta oberta per la dreta (-∞, b)
Semirecta tancada per l'esquerra [a, +∞)
Semirecta oberta per l'esquerra (a, +∞)
Semirecta tancada per la dreta (-∞, b]
Tots els nombres més grans que a.
a < x
Tots els nombres més petits que b.
x < b
Tots els nombres més grans o iguals que a.
a ≤ x
Tots els nombre més petits o iguals que b.
x ≤ b
Unió d'intervals
La unió d'intervals es representa amb el símbol ∪.
click to edit
Per exemple, si considerem dos intervals, un entre els anys 1918 i 1928 i un altre entre els anys 1932 i 1937:
Interval 1 → [1918, 1928]
Interval 2 → [1932, 1937]
Unió dels intervals → [1918, 1928] ∪ [1932, 1937]
Aproximació dels nombres reals
Aproximacions per defecte i per excés
En algunes situacions, els nombres reals tenen més xifres decimals de les que necessitem. En aquests casos podem treballar amb aproximacions.
Si el valor que prenem del nombre és més petit que el seu valor real, fem una aproximació per defecte
En canvi, si el valor és més gran que el real, és una aproximació per excés.
Exemple:
click to edit
e= 2,7182818284590452…
Si prenem e ≈ 2,715 → 2,715 < 2,718… És una aproximació per defecte.
Si prenem e ≈ 2,720 → 2,720 > 2,718… És una aproximació per excés.
Truncament i arrodoniment
Per truncar un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre i eliminem les xifres d'ordres inferiors.
El truncament sempre ens dona una aproximació per defecte.
Per arrodonir un nombre real a un ordre determinat, tallem el nombre per aquest ordre tenint en compte que:
Si la primera xifra que eliminem és més petita que 5, deixem la xifra anterior igual.
Si la primera xifra que eliminem és igual o més gran que 5, sumem 1 a la xifra anterior.
L'arrodoniment ens pot donar una aproximació per defecte o per excés.
Error absolut i relatiu
L'error absolut Ea d'una aproximació és la diferència entre el nombre exacte i el nombre aproximat. Normalment es dona en valor absolut
Ea = |Nombre exacte– Nombre aproximat|
Exemple
en un laboratori han mesurat la longitud de molts ribosomes. La longitud mitjana és de 27 nm i la longitud de l'últim mesurament ha estat de 29,45 nm. Quin error absolut s'ha comès?
Error absolut → |27 – 29,45| = 2,45 nm
L'error absolut ha estat de 2,45 nm.
L'error relatiu Er d'una aproximació és el quocient entre l'error absolut i el nombre exacte. Normalment es dona en percentatge.
Considerem l'error absolut que hem calculat abans per determinar l'error relatiu. En aquest cas, el nombre exacte és el valor de la mitjana: 27 nm.
A vegades no podrem calcular el valor exacte de l'error absolut i resultarà útil, almenys, acotar-lo.
La cota d'error és un valor que podem assegurar que serà més gran o igual que l'error